文章目录
- 1、一阶RC滤波电路
- 1.1、一阶RC电路的时域分析
- 1.2、一阶RC电路的频域分析
- 2、一阶RC低通滤波器的离散化
- 3、一阶低通数字滤波器的Simulink仿真
前面我们讲了一阶系统传函的标准形式和时域响应。今天说下生活中对应的一个一阶系统——一阶RC低通滤波器。
1、一阶RC滤波电路
1.1、一阶RC电路的时域分析
电容的电流：
基尔霍夫电压定律得：
u i u_{i} ui的单位是V，时间常数 τ \tau τ =RC； 解微分方程得：
看下时域下的响应曲线：
假设电容初始电压值为0 ，R=1K，C=4.7uF ，ui=1V ，T=RC 那么V(τ)=0.632 V。
1.2、一阶RC电路的频域分析
再变化下：
看下幅频和相频特性曲线：
幅频特性图的对数表示：
由上可以看出：
- 当ω<ωc时，幅值是平行于坐标的直线，基本无衰减；
- 当ω>>ωc时，是斜率与-20dB/十倍频成比例的一条直线；
- 当ω=ωc时，增益衰减至0.707，即-3dB，相位滞后45度，对应低通滤波器，该频率通常被称为截止频率
当使用一个一阶RC低通滤波器的时候，如果信号频率等于截止频率的时候，有个45°的延迟，就会涉及到相角的补偿。
2、一阶RC低通滤波器的离散化
对上面的微分方程拉氏变换得：
再通过z变换（方法很多，如一阶前向差分、双线性变换等，这里用一阶后向差分法）
从上面的式子：
可以看出，这个是数字一阶低通滤波器常见的形式。其中等式右边的两个系数相加等于1，即
R C T s + R C + T s T s + R C = 1 , T s 为采样周期 \frac{RC}{T_{s}+RC}+\frac{T_{s}}{T_{s}+RC}=1,T_{s}为采样周期 Ts+RCRC+Ts+RCTs=1,Ts为采样周期,截止频率 f c = 1 2 π R C f_{c}=\frac{1}{2\pi RC} fc=2πRC1。
解释下，后向差分离散化和前向差分离散化的区别：
如果： 当前输出项 = 前一次输出项系数1 + 当前输入项系数2；其中有当前输入项，则为后向差分离散化。
如果： 当前输出项 = 前一次输出项系数1 + 前一次输入项系数2；其中有前一次输入项，则为前向差分离散化。
3、一阶低通数字滤波器的Simulink仿真
实验图形如下：
图中黄色波形为输入a，绿色为信号b，紫色为一阶低通滤波器的输出信号c，由图可见，输
出信号滞后输入信号45度，幅值为输入信号的0.707倍。
当我们知道输入信号的频率时，我们可以做个自适应滤波，根据输入信号的频率变化来动态
改变滤波器的截止频率。这样我们就可以知道滤波器的输出相位时钟和输入信号相差45度。
参考模型：一阶低通数字滤波器的Simulink仿真
注：内容由 【滤波器学习笔记】一阶RC低通滤波 整理而来。
