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什么是范数

距离的定义是一个宽泛的概念，只要满足非负、自反、三角不等式就可以称之为距离。范数是一种强化的距离概念，它在定义上比距离多了一条数乘的运算法则。有时为了便于理解，我们可以把范数当作距离来理解。

在数学上，范数包括向量范数和矩阵范数，向量范数表征向量空间中向量的大小，矩阵范数表征矩阵引起变化的大小。一种非严密的解释就是，对应向量范数，向量空间中的向量都是有大小的，这个大小如何度量，就是用范数来度量的，不同的范数都可以来度量这个大小，就好比米和尺都可以来度量远近一样；对于矩阵范数，学过线性代数，我们知道，通过运算AX=B，可以将向量X变化为B，矩阵范数就是来度量这个变化大小的。

这里简单地介绍以下几种向量范数的定义和含义 。

L-P范数

与闵可夫斯基距离的定义一样，L-P范数不是一个范数，而是一组范数，其定义如下： 

 

L0范数

当P=0时，也就是L0范数，L0范数并不是一个真正的范数，它主要被用来度量向量中非零元素的个数。用L-P定义可以得到的L-0的定义为： 

这里就有点问题了，我们知道非零元素的零次方为1，但零的零次方为0，非零数开零次方都是什么鬼，很不好说明L0的意义，所以在通常情况下，大家都用的是： 

表示向量x中非零元素的个数。

对于L0范数，其优化问题为： 

在实际应用中，由于L0范数本身不容易有一个好的数学表示形式，给出上面问题的形式化表示是一个很难的问题，故被人认为是一个NP难问题。所以在实际情况中，L0的最优问题会被放宽到L1或L2下的最优化。

L1范数和L2范数经常用于机器学习的正则化中，详细参考我这篇文章：

https://blog.csdn.net/program_developer/article/details/79436657