■ 前言

元器件的谐振特性

使用 使用AD5933测量电子器件复阻抗 测量元器件的谐振特性。这里记录了一些相应的的电子实验的数据。以备之后进行复习和参考。

01测量电路

在 使用AD5933测量电子器件复阻抗 中给出了直接测量一些元器件（电阻、电容）的结果。为了扩大测量器件特性的范围，特别是对于一些超过直接测量范围（比如阻抗比较小的扬声器，甚至一些实际的动态系统），使用了 基于运放AD8606的信号缓冲小板 对一些器件的激励信号进行缓冲，然后再通过一个固定的电阻（100kΩ）输入到AD5933的Vin输入端口。

▲ 测试电路

^{▲ 测试电路}

这里需要指出的是：

输入到AD5933的隔直电容 $C_1$ 必须加上。否则就会引起AD5933饱和。或者工作不正常。

▲ 实验板上的OPA缓冲电路

^{▲ 实验板上的OPA缓冲电路}

02测量电路和计算公式

1. 测量电路与数据

在面包板上，将AD5933模块的Vin，Vout的接口以及相应的分压电阻和AD8606缓冲电路组成一下的实验电路。首先使用 $R_1 ,R_2$ 组成分压电路，并测量校准的数据。然后将 $R_2$ 更换成需要测量的元器件，得到测量的数据。然后在根据校准的数据计算出待测量元器件的阻抗和相角。

▲ 测量实验电路基本结构

^{▲ 测量实验电路基本结构}

假设在某一频率 $f_1$ 下，使用电阻所获得的校正测量数据的实部和虚部为： $R_c ,I_c$ 。那么对应的幅度和相角为： $A_c = \sqrt {R_c^2 + I_c^2 } ,\,\,\,\,\theta _c = \arctan 2\left( {I_c ,R_c } \right)$

将待测元器件更换之后，所测量得到的数据实部和虚部为： $R_m ,I_m$ 。

为了后面方便计算和推导，假设在进行校正环节中，所使用的 $R_1 ,R_2$ 相同，都等于 $R$ 。通常选择 $R$ 的大小与待测元器件的阻抗在相同的数量级。

2.第一种求解公式推导

假设AD5933的Vout输出的电压可以使用复矢量： $\dot U_{out} = U_R + jU_I$ 表示。那么当 $R_1 = R_2 = R$ 时， $\dot U_{out} = 2R_c + 2jI_c$ 。

当 $R_2$ 替换成被测元器件（ $R_m + jI_m$ ）后，测量的结果为：
$\dot U_{out} \cdot {{R_t + jI_t } \over {R + R_t + jI_t }} = {{\left( {2R_c + 2jI_c } \right)\left( {R_t + jI_t } \right)} \over {R + R_t + jI_t }} = R_m + jI_m$

对上面公式的分子进行化简：

为了便于推导求解 $R_t ,I_t$ 的公式，下面做些表达式替换：
$a = R_c ,b = I_c ,c = R_m ,d = I_m ,x = R_t ,y = I_t$

则上面的表达式就变成：

${{2\left( {a + jb} \right)\left( {x + jy} \right)} \over {R + x + jy}} = c + jd$

那么：

根据上面方程，可以得到如下关于 $x, y$ 的二元非线性方程组：

经过化简可以得到如下关于 $x, y$ 的二元二次方程组：
$\left( {2a - c} \right)x^2 + \left( {2a - c} \right)y^2 + \left( {2Ra - 2Rc} \right)x - 2Rby - R^2 c = 0$

$\left( {2b - d} \right)x^2 + \left( {2b - d} \right)y^2 + \left( {2Rb - 2Rd} \right)x + 2Ray - R^2 d = 0$

求解上述方程组会遇到麻烦。下面通过直角坐标系和极坐标系相结合的方式求解测量阻抗。

3.第二种公式推导过程

在假设 $R_1 = R_2 = R$ 的条件下，可以知道Vin的可以表示成： $\bar U_{IN} \angle \theta _{IN} = 2\bar U_C \angle \theta _C$

那么测量元器件的结果假设为： $\bar U_m \angle \theta _m = R_m + i \cdot I_m$ 。那么待测与器件的复阻抗为： $R_t + iI_t$ ，则有：

${{R_t + i \cdot I_t } \over {R + R_t + i \cdot I_t }} \cdot \bar U_{IN} \angle \theta _{IN} = \bar U_m \angle \theta _m$

因此：

${{R_t + i \cdot I_t } \over {R + R_t + i \cdot I_t }} = {{\bar U_m } \over {\bar U_{IN} }}\angle \left( {\theta _m - \theta _{IN} } \right) = \bar U_0 \angle \theta _0 = R_0 + jI_0$

假设： $x = R_t ,y = I_t ,a = R_0 ,b = I_0$ ，那么可以得到如下二元二次方程组：

${{x\left( {R + x} \right)} \over {y^2 + \left( {R + x} \right)^2 }} + {{y^2 } \over {y^2 + \left( {R + x} \right)^2 }} = a$ $\over {y^2 + \left( {R + x} \right)^2 }} + {{y\left( {R + x} \right)} \over {y^2 + \left( {R + x} \right)^2 }} = b$

4.使用复数简化推导

假设被测元器件的复阻抗为 $\dot x = x_r + jx_i$ 。记 $\dot a = R_0 + jI_0$ ，那么：
$\over {R + x}} = a$

求解可以得到：
$\left\{ {\left( {\left\{ { - {{Ra} \over {a - 1}}} \right\} \setminus \left\{ { - R} \right\}} \right)} \right\}$

将其中的 $a$ 带回 $\dot a = m + jn$ ，那么被测复阻抗为：

$\dot x = - {{Rm\left( {m - 1} \right)} \over {n^2 + \left( {m - 1} \right)^2 }} - {{Rn^2 } \over {n^2 + \left( {m - 1} \right)^2 }} + i\left( {{{Rmn} \over {n^2 + \left( {m - 1} \right)^2 }} - {{Rn\left( {m - 1} \right)} \over {n^2 + \left( {m - 1} \right)^2 }}} \right)$

#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
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# TEST1.PY                     -- by Dr. ZhuoQing 2020-06-28
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# Note:
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from headm import *
from sympy                  import print_latex,abc,symbols,expand,I,re,im
from sympy                  import solveset,cos,sin,nonlinsolve
R,m,n = symbols('R, m, n', real=True)
x,a = symbols('x, a', complex=True)
a = m+I*n
#res = nonlinsolve([x/(R+x)-a], x)
expr = -R * a / (a-1)
print_latex(re(expr) + I * im(expr))
tspexecutepythoncmd('msg2latex')
#------------------------------------------------------------
#        END OF FILE : TEST1.PY
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