低通滤波器和高通滤波器的程序实现原理推导

article/2025/9/14 0:03:31

傅立叶变换,拉普拉斯变换和Z变换

对于信号分析而言,傅立叶变换是必不可少的,我们都知道傅立叶变换是把系统从时域变换到频域进行分析,那么拉普拉斯变换和Z变换是干什么的?简单的来说,由于傅里叶变换的收敛有一个狄利克雷条件，要求信号绝对可积/绝对可和。对于那些不符合狄利克雷条件的信号该怎么办呢,我们将频域的概念扩展到复频域.首先要说明的是傅立叶变换大致有两种,连续时间的傅立叶变换(CTFT)和离散的傅立叶变换(DTFT).而对于CTFT而言,拉普拉斯变换就是将连续时间系统的傅立叶变换扩展了;而对于DTFT而言,Z变换就是将离散时间系统的傅立叶变换扩展了.知乎上有一个很好的对三种变换的解释:傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系

RC一阶低通滤波器的算法推导

一阶的RC电路如下:
这里写图片描述
这里直接给出其s域的传递函数:

V o u t V i n = 1 R C s + 1, (s = j ω)

$\frac{\mathbf{V_{out}}}{\mathbf{V_{in}}}=\frac{1}{RCs+1},(s=j\omega)$
对其进行z变换(一阶后差分):

s=1−z−1T,T表示采样周期 s = 1 − z − 1 T , T 表示采样周期 $s=\frac{1-z^{-1}}{T},T表示采样周期$
则传递函数变为:

Y ( z ) X ( z ) = T R C ( 1 - Z - 1 ) + T

$\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{T}{RC(1-Z^{-1})+T}$
又因为

Y(z)=Y(n)z−n,且Y(n−1)Y(n)=z−1 Y ( z ) = Y ( n ) z − n , 且 Y ( n − 1 ) Y ( n ) = z − 1 $Y(z)=Y(n)z^{-n},且\frac{Y(n-1)}{Y(n)}=z^{-1}$ ,

X(z)=X(n)z−n,且X(n−1)X(n)=z−1 X ( z ) = X ( n ) z − n , 且 X ( n − 1 ) X ( n ) = z − 1 $X(z)=X(n)z^{-n},且\frac{X(n-1)}{X(n)}=z^{-1}$ ,代入到上式的传递函数得:

Y (n) = T T + R C X (n) + R C T + R C Y (n - 1)

$Y(n)=\frac{T}{T+RC}X(n)+\frac{RC}{T+RC}Y(n-1)$
其中:

X(n):本次采样值 X ( n ) : 本次采样值 $X(n):本次采样值$

Y(n−1):上次滤波值 Y ( n − 1 ) : 上次滤波值 $Y(n-1):上次滤波值$
令

a=TT+RC≈TRC=ωT=2πfT a = T T + R C ≈ T R C = ω T = 2 π f T $a=\frac{T}{T+RC}\approx \frac{T}{RC}=\omega T=2\pi fT$
则滤波公式为:

Y (n) = a * X (n) + (1 - a) * Y (n - 1)

$Y(n)=a*X(n)+(1-a)*Y(n-1)$
这与px4代码的lib库中低通滤波是一样的:

float BlockLowPass::update(float input)
{if (!PX4_ISFINITE(getState())) {setState(input);}float b = 2 * float(M_PI) * getFCut() * getDt();float a = b / (1 + b);setState(a * input + (1 - a)*getState());//input:本次采样值 getState():上次滤波值return getState();
}

一阶RC高通滤波器

RC高通滤波器原理图如下,它和低通相反,电阻两端的电压作为输出,则其s域的传递函数为:

V o u t V i n = R C s R C s + 1

$\frac{\mathbf{V_{out}}}{\mathbf{V_{in}}}=\frac{RCs}{RCs+1}$

z z $z$ 变换(一阶后向差分):

s = \frac{1 - z^{- 1}}{T}

$s=\frac{1-z^{-1}}{T}$
得到

z z $z$ 域的传递函数为:

\frac{Y (z)}{X (z)} = \frac{R C (1 - z^{- 1})}{R C (1 - z^{- 1}) + T}

$\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{RC(1-z^{-1})}{RC(1-z^{-1})+T}$
同样的,

Y(z)=Y(n)z−n,且Y(n−1)Y(n)=z−1 Y ( z ) = Y ( n ) z − n , 且 Y ( n − 1 ) Y ( n ) = z − 1 $Y(z)=Y(n)z^{-n},且\frac{Y(n-1)}{Y(n)}=z^{-1}$ ,

X(z)=X(n)z−n,且X(n−1)X(n)=z−1 X ( z ) = X ( n ) z − n , 且 X ( n − 1 ) X ( n ) = z − 1 $X(z)=X(n)z^{-n},且\frac{X(n-1)}{X(n)}=z^{-1}$ ,则有:

Y (n) = R C R C + T (X (n) - X (n - 1) + Y (n - 1))

$Y(n)=\frac{RC}{RC+T}(X(n)-X(n-1)+Y(n-1))$
其中:

X(n):本次采样值 X ( n ) : 本次采样值 $X(n):本次采样值$

X(n−1):上次采样值 X ( n − 1 ) : 上次采样值 $X(n-1):上次采样值$

Y(n−1):上次滤波值 Y ( n − 1 ) : 上次滤波值 $Y(n-1):上次滤波值$
我们令令

b=TT+RC≈TRC=ωT=2πfT b = T T + R C ≈ T R C = ω T = 2 π f T $b=\frac{T}{T+RC}\approx \frac{T}{RC}=\omega T=2\pi fT$ ,

a=11+b a = 1 1 + b $a=\frac{1}{1+b}$
则高通滤波的算法公式为:

Y (n) = b * (X (n) - X (n - 1) + Y (n - 1))

$Y(n)=b*(X(n)-X(n-1)+Y(n-1))$
这与px4中的高通滤波是一样的:


float BlockHighPass::update(float input)
{float b = 2 * float(M_PI) * getFCut() * getDt();float a = 1 / (1 + b);setY(a * (getY() + input - getU()));//getY():上次滤波器输出值;getU():上次滤波器输入值setU(input);return getY();
}

这里写图片描述