在通讯系统中，信道是影响信号传输质量的最重要因素，而信道均衡目的是则为了消除信道的影响。
一个基带传输的通信系统的简单示意图如图1，数字信号m(n)经过单位冲激响应为ht(t)的发送滤波器后，变成模拟信号 s(t), 然后通过的单位冲激响应为hc(t)的信道。通过信道后，不仅会产生失真（主要考虑ISI），也会受到噪声n(t)的影响（这里假设信道的噪声是加性高斯白噪声,AWGN，功率为N0/2)。均衡器的目的是消除信道的影响，使得经过采样后的信号y(n)质量最好。均衡器可以做在接收端，用接收滤波器实现，也可以做在发送端，用发送滤波器实现。这里我们以均衡器做在接收端为例，即接收滤波器就是均衡器。最后，判决器(slicer）会对y(n)进行判决，如果整个信号传输过程没有出现错误，那么得到的b(n)就是发送信号m(n).
图1 基带传输通信系统
在《信道均衡之匹配滤波器》中讲过，如果接收滤波器（即均衡器）使得y(n)的SNR最大，那么这时候对应的接收滤波器就是匹配滤波器。
信道会使得信号产生失真，这里我们先忽略信道噪声n(t)的影响。如图2所示，发送端发送的s(t)为一个二进制信号，经过信道作用后, c(t)产生了失真。同样发射的信号为1，但是在3T和4T的采样时刻, c(t)的大小却不一样。究其原因主要是c(t)中前后几个符号之间的干扰导致的，这种干扰就是ISI。如果没有接收滤波器做均衡，那么y(t)和c(t)一样会受到ISI的影响。
图2 符号间干扰(ISI）
这里我们还有要提到y(n)的信号质量最好指的是什么？匹配滤波器认为y(n)信号质量最好就是指其SNR最大，而迫零(zero-forcing)滤波器认为y(n)信号质量最好是指y(n)不受ISI的影响。
消除ISI的接收滤波器有不同的实现方法。可以做成FIR滤波器，这就是线性均衡（Linear Equalization, LE)；还可以和判决器一起做成判决反馈均衡(Decision Feedback Equalization, DFE)。 线性均衡也可以用做在发送端，用发送滤波器实现，而DFE只能做在接收端。以后我们会讲到有一种叫Tomlinson-Harashima-Precoding的技术，相当于在发送端做DFE。如果把均衡做在发送端，发送端首先需要根据接收端的反馈信号来得知信道的参数。绝大部分通信系统发送端与接收端之间都有握手协议，所以这一点不成问题。
把图1的基带传输通信系统重画如图3，这里省略了信道引入的噪声。我们可以把发送滤波器，信道，接收滤波器和采样开关合并成一个系统，对于这个系统，输入m(n)和输出y(n)都是离散时间信号，所以整个系统可以看做是一个离散时间系统，其传输函数可以用离散时间传输函数H(z)来表示。
图3 基带传输通信系统的等效形式
无ISI传输的其实就是信号原封不动地从m(n)传输y(n)，即
.................式1
上式非常简单明了。要满足式1，我们 的直觉反应是只要满足
.................式2
就能满足无 ISI传输的条件。其中Ht(f),Hc(f)和Hr(f)分别为ht(t),hc(t)和hr(t)的傅里叶变换。直觉是对的，但是满足式2并没有必要，因为这是一个非常苛刻的条件。考虑如果由于多径效应导致Hc(f)在某些频率处有非常大的衰减，那么Hr(f)需要在这些频率处有非常大的增益，这将非常耗电。另外，由于Ht(f)和Hc(f)的作用，信号频率是带限的，在带外根本没有信号，也就没有必要在带外做均衡。
另外一种等效的解释是：我们并不需要y(t)没有ISI，只要满足在t=nT时候采样到的y(n)没有ISI就行了。具体来说，只要满足如式3的nyquist准则，就能保证y(n)不受ISI的影响。
.....................................式3
其中
仔细观察式1与式3，可以发现两者是相同的。另外注意，由于采样会引入增益1/T，为了把这个增益抵消掉，在G(f)中引入了一个增益T。
从式3可以发现只要G(f)是关于fT=n对称的形状，就能满足Nyquist准则，如图4所示。其中使用最多的是图4(c)中的升余弦形状。
图4，满足Nyquist准则的几中G(f)形状
由于满足Nyquist准则的形状有无限多种，所以还需要加入约束条件才能得到唯一的G(f), 一个比较好的约束条件就是SNR最大。这里的SNR最大和匹配滤波器时候的情况不一样，这里的SNR最大是在满足Nyquist准则条件下SNR最大。
最终迫零滤波器的问题变成了一个在满足Nyquist准则条件下SNR最大的约束优化问题。利用朗格朗日乘子法可以将此约束优化问题转成无约束优化问题，然后再求导，导数为零的时候就是SNR的最大的时候。严格证明请参考Robert F. H. Fiscber的“Precoding and Signal Shaping for Digital Transmission".
最终，得到的迫零滤波器的传输函数如下
其中上标zf代表zero-forcing。在仔细分析上式，分子上实际上是一个匹配滤波器，其相位抵消了发送滤波器和信道相位的影响。信号经过发送滤波器，信道和匹配滤波器后被采样，其幅度正好是分母上离散时间滤波器的幅度。
令
我们可以用以下方式来实现迫零滤波器。
图5 迫零滤波器的实现
出处：波波葡 - 博客园 (cnblogs.com)
![[培训-无线通信基础-7]：信道均衡器（信道估计、信道均衡）](https://img-blog.csdnimg.cn/20210717162504974.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0hpV2FuZ1dlbkJpbmc=,size_16,color_FFFFFF,t_70)
