神经网络算法基本原理及其实现

article/2025/10/7 16:30:56

背景知识

人工神经元模型

激活函数

网络结构

工作状态

学习方式

BP算法原理

算法实现（MATLAB）

背景知识

在我们人体内的神经元的基本结构，相信大家并不陌生，看完下面这张图，相信大家都能懂

什么是人工神经网络？

人工神经网络是具有适应性的简单神经元组成的广泛并互连的网络，它的组织能够模拟生物神经系统对真实世界物体作出的交互式反应。人工神经网络具有自学习、自组织、较好的容错性和优良的非线性逼近能力。

人工神经网络能干什么？

1、拟合数据——>预测

2、分类——>聚类分析

那么我们学习人工神经网络需要知道哪些呢？

1、神经元模型

2、激活函数

3、网络结构

4、工作状态

5、学习方式

人工神经元模型

作为神经网络的基本元素，神经元的模型如下：

$x_{1}\sim x_{n}$ 是从其他神经元上传来的信号， $w_{ij}$ 表示从神经元 $j$ 到神经元 $i$ 的连接权值， $\theta$ 表示一个阈值，或者称为偏置。

神经元输入与输出的关系为： $net_{i}=\sum_{j=1}^{n}w_{ij}x_{j}-\theta =\sum_{j=0}^{n}w_{ij}x_{j}$

激活函数

激活函数是对净激活量与输出进行映射的函数。一些常用的激活函数，由于输入数据与期望之间可能并不是量级一样，所以需要激活，激活函数： $y_{i}=f(net_{i})$

一些常用的激活函数有：

线性函数： S型函数：

$f(x)=k*x+c$ $f(x)=\frac{1}{1+e^{-\alpha x}}$

阈值函数：双极S型函数：

$f(x)=\left\{\begin{matrix} T, & x>c\\ k*x,&|x|\leq c \\ -T, & x<-c \end{matrix}\right.$ $f(x)=\frac{2}{1+e^{-\alpha x}}-1$

网络结构

根据网络中神经元的互连方式，可以分为3种神经网络

1、前馈神经网络：在训练的过程中会有反馈信号，而在分类的过程中只能向前传递数据，直到到达输出层，层间没有向后反馈信号

2、反馈神经网络：从输入到输出具有反馈连接的神经元

3、自组织网络：通过自动寻找样本中的内在规律和本质属性，自组织、自适应地改变网络参数与结构

工作状态

1、学习：利用学习算法来调整神经元之间的连接权值，使得网络输出更符合实际

2、工作：神经元的连接权值不变，可作为分类器或者预测数据时使用

学习方式

1、有导师学习：将一组训练集送入网络，根据网络的实际输出与期望输出间的差别来调整连接权，如BP算法（本文的代码实现也为BP神经网络的算法实现）

2、无导师学习：抽取样本集合中蕴含的统计特性，并以神经元之间的连接权的形式存在于网络中，如（Hebb学习率）

BP算法原理

假设输入层有n个神经元，隐含层有p个神经元，输出层有q个神经元

符号定义：

输入向量	$x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$
隐含层输入向量	$hi=(hi_{1},hi_{2},\cdots ,hi_{p})$
隐含层输出向量	$ho=(ho_{1},ho_{2},\cdots ,ho_{p})$
输出层输入向量	$yi=(yi_{1},yi_{2},\cdots ,yi_{q})$
输出层输出向量	$yo=(yo_{1},yo_{2},\cdots ,yo_{q})$
期望输出向量	$d_{o}=(d_{1},d_{2},\cdots ,d_{q})$
误差函数	$e=\frac{1}{2}\sum_{o=1}^{q}(d_{o}(k)-yo_{o}(k))^{2}$

第一步：计算各层神经元的输入和输出：

$\begin{matrix} hi_{h}(k)=\sum_{i=0}^{n}w_{hi}x_{i}(k) &h=1,2,\cdots ,p \end{matrix}$

$\begin{matrix} ho_{h}(k)=f(hi_{h}(k))&h=1,2,\cdots ,p \end{matrix}$

$\begin{matrix} yi_{o}(k)=\sum_{h=o}^{p}w_{oh}ho_{h}(k) & o=1,2,\cdots ,q \end{matrix}$

$\begin{matrix} yo_{o}(k)=f(yi_{o}(k))& o=1,2,\cdots ,q \end{matrix}$

第二步：利用网络期望输出和实际输出，计算误差函数对输出层的各神经元的偏导数。

$\frac{\partial e}{\partial w_{oh}}=\frac{\partial e}{\partial yi_{o}}\frac{\partial yi_{o}}{\partial w_{oh}}=-\delta _{o}(k)ho_{h}(k)$

第三步：利用隐含层到输出层的连接权值、输出层的 $\delta _{0}(k)$ 和隐含层的输出计算误差函数对隐含层各神经元的偏导数 $\delta _{h}(k)$

$\frac{\partial e}{\partial w_{hi}}=\frac{\partial e}{\partial hi_{h}(k)}\frac{\partial hi_{h}(k)}{\partial w_{hi}}=-\delta _{h}(k)x_{i}(k)$

第四步：利用输出层各神经元的 $\delta _{h}(k)$ 和隐含层各神经元的输出来修正连接权值 $w_{oh}(k)$

$\Delta w_{oh}(k)=-\mu \frac{\partial e}{\partial w_{oh}}=\mu \delta _{o}(k)ho_{h}(k)$

$w_{oh}^{N+1}=w_{oh}^{N}+\mu \delta _{o}(k)ho_{h}(k)$

$\mu$ 是设置的学习率

第五步：利用隐含层各神经元的 $\delta _{h}(k)$ 和输入层各神经元的输入修正连接权

$\Delta w_{hi}(k)=-\mu \frac{\partial e}{\partial w_{hi}}=\delta _{h}(k)x_{i}(k)$

$w_{hi}^{N+1}=w_{hi}^{N}+\mu \delta _{h}(k)x_{i}(k)$

第六步：计算全局误差

$E=\frac{1}{2m}\sum_{k=1}^{m}\sum_{o=1}^{q}(d_{o}(k)-y_{o}(k))^{2}$

第七步：判断网络误差是否满足要求。当误差达到预设精度或学习次数大于设定的最大次数，则结束算法。否则，选取下一个学习样本及对应的期望输出，返回进入下一轮学习。

算法实现（MATLAB）

注意：由于MATLAB有内置函数可以调用，所以没有从公式原理上从头搭建代码

%BP神经网络
clear all
clc
X=-1:0.1:1;
D=[-0.9602 -0.5770 -0.0729 0.3771 0.6405 0.6600 0.4609...0.1336 -0.2013 -0.4344 -0.5000 -0.3930 -0.1647 -.0988...0.3072 0.3960 0.3449 0.1816 -0.312 -0.2189 -0.3201];
net = newff(minmax(X),[5 1],{'tansig','tansig'}, 'trainlm');%隐含层5个神经元，输出层1个神经元
net.trainParam.epochs = 10000; %训练的最大次数
net.trainParam.goal = 1e-5; %全局最小误差
net = train(net,X,D); 
O = sim(net,X); %仿真模拟
figure;
plot(X,D,X,O,'r'); %绘制训练后得到的结果和误差曲线
legend('原始数据','仿真数据')
V = net.iw{1,1}%输入层到中间层权值
theta1 = net.b{1}%中间层各神经元阈值
W = net.lw{2,1}%中间层到输出层权值
theta2 = net.b{2}%输出层各神经元阈值%%以下是计算结果
V =63.2827-21.7727-19.39264.29531.7695theta1 =-44.70437.68902.15891.45752.2024W =-0.3473   -0.2570   -0.2184   -1.3224    6.1471theta2 =-5.2381

仿真的结果：