习题2-5

1. 已知 $y=x^3-x$, 计算在 $x=2$ 处当 $\Delta x$ 分别等于 $1,0.1,0.01$ 时的 $\Delta y$ 及 $\mathrm{d}y$.

2. 设函数 $y=f(x)$ 的图形如下, 试在图(a)、(b)、（c）、(d) 中分别标出在点 $x_0$ 的 $\mathrm{d}y、\Delta y$ 及 $\Delta y-\mathrm{d}y$, 并说明其正负.

解：

3. 求下列函数的微分：

(1) $y=\frac{1}{x}+2\sqrt{x}$

(2) $y=x\sin 2x$;

(3) $y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

(4) $y={\ln }^2(1-x)$

(5) $y=x^2{\mathrm{e}}^{2x}$;

(6) $y={\mathrm{e}}^{-x}\cos (3-x)$;

(7) $y=\arcsin \sqrt{1-x^2}$;

(8) $y={\tan }^2\left(1+2x^2\right)$;

(9) $y=\arctan \frac{1-x^2}{1+x^2}$;

(10) $s=A\sin (\omega t+\phi )（A、\omega 、\phi$ 是常数) .

4. 将适当的函数填人下列括号内, 使等式成立:

(1) $\mathrm{d}()=2\mathrm{d}x$;

(2) $\mathrm{d}()=3x\mathrm{d}x$;

(3) $\mathrm{d}()=\cos t\mathrm{d}t$;

(4) $\mathrm{d}()=\sin \omega x\mathrm{d}x(\omega \ne 0)$;

(5) $\mathrm{d}()=\frac{1}{1+x}\mathrm{d}x$

(6) $\mathrm{d}()={\mathrm{e}}^{-2x}\mathrm{d}x$;

(7) $\mathrm{d}()=\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$;

(8) $\mathrm{d}()={\sec }^{2}3x\mathrm{d}x$

5. 如下图所示的电笕 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \overparen at position 1: \̲o̲v̲e̲r̲p̲a̲r̲e̲n̲{A O B} 的长为 $s$, 跨度为 $2l$, 电缆的最低点 $O$ 与杆顶连线 $AB$ 的距离为 $f$, 则电缆长可按下面公式计算

$$s=2l\left(1+\frac{2f^2}{3l^2}\right)\text{, }$$

当 $f$ 变化了 $\Delta f$ 时, 电缆长的变化约为多少?

6. 设扇形的圆心角 $\alpha =60^{\circ }$, 半径 $R=100\mathrm{c}\mathrm{m}$ 【如下图】.

如果 $R$ 不变, $\alpha$ 减少 $30^{\prime }$, 问扇形面积大约改变了 多少? 又如果 $\alpha$ 不变, $R$ 增加 $1\mathrm{c}\mathrm{m}$, 问扇形面积大约改变 了多少?

7. 计算下列三角函数值的近似值:

(1) $\cos 29^{\circ }$;

(2) $\tan 136^{\circ }$.

8. 计算下列反三角函数值的近似值:

(1) $\arcsin 0.5002$;

(2) $\arccos 0.4995$.

9. 当 $|x|$ 较小时, 证明下列近似公式:

(1) $\tan x\approx x(x$ 是角的弧度值);

(2) $\ln (1+x)\approx x$;

(3) $\sqrt[n]{1+x}\approx 1+\frac{1}{n}x$;

(4) ${\mathrm{e}}^x\approx 1+x$.

并计算 $\tan 45^{\prime }$ 和 $\ln 1.002$ 的近似值.

10. 计算下列各根式的近似值:

(1) $\sqrt[3]{996}$;

(2) $\sqrt[6]{65}$.

11. 计算球体体积时, 要求精确度在 $2\%$ 以内. 问这时测量直径 $D$ 的相对误差不能超过多少?

12. 某厂生产如下图所示的扇形板, 半径 $R=200\mathrm{m}\mathrm{m}$, 要求中心角 $\alpha$ 为 $55^{\circ }$. 产品检验 时, 一般用测量弦长 $l$ 的办法来间接测量中心角 $\alpha$. 如果测量弦长 $l$ 时的误差 ${\delta }_l=0.1\mathrm{m}\mathrm{m}$, 问 由此而引起的中心角测量误差 ${\delta }_{\alpha }$ 是多少?