高等数学（第七版）同济大学 习题1-8

函数作图软件：Mathematica

 

$\begin{array}{rlr}& 1.设y=f(x)的图形如图1-39所示，试指出f(x)的全部间断点，并对可去间断点补充或& \\ & & \\ & 修改函数值的定义，使它成为连续点。& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& x=-1，x=0，x=1，x=2是函数f(x)的间断点，& \\ & & \\ & x=-1，x=1，x=2是函数f(x)的可去间断点。补充定义f(-1)=f(2)=0，修改定义使f(1)=2，& \\ & & \\ & 使f(x)成为连续点。& \end{array}$

---

$\begin{array}{rlr}& 2.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (1)f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2，0\le x\le 1，\\ \\ 2-x，1<x\le 2；\end{array}& \\ & & \\ & (2)f(x)=\{\begin{array}{l}x，-1\le x\le 1，\\ \\ 1，x<-1或x>1.\end{array}& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& (1)& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& f(x)在区间[0,1)和(1,2]内连续，在x=1处，\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{x}^2=1，\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(2-x)=1，& \\ & & \\ & 因f(1)=1，所以f(x)在x=1处连续，f(x)在区间[0,2]上连续。& \end{array}$
 
$\begin{array}{rlr}& (2)& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& f(x)在区间(-\infty ,-1)和(-1,+\infty )内连续，在x=-1处间断，但右连续。& \\ & & \\ & 在x=-1处，\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }x=-1，f(-1)=-1，\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }1=1，f(-1)=1，& \\ & & \\ & \underset{x\to -1^{-}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)，所以f(x)在x=-1处间断。& \\ & & \\ & & \end{array}$

---

$\begin{array}{rlr}& 3.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点，& \\ & & \\ & 那么补充或改变函数的定义使它连续：& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (1)y=\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}，x=1，x=2；& \\ & & \\ & (2)y=\frac{x}{tanx}，x=k\pi ，x=k\pi +\frac{\pi }{2}（k=0，\pm 1，\pm 2\cdot \cdot \cdot ）；& \\ & & \\ & (3)y=co{s}^2\frac{1}{x}，x=0；& \\ & & \\ & (4)y=\{\begin{array}{l}x-1，x\le 1，\\ \\ 3-x，x>1，\end{array}x=1.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& (1)当x=1时，f(x)=f(1)无定义，因为\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+1}{x-2}=-2，所以x=1是可去间断点，& \\ & & \\ & 为第一类间断点，重新定义函数：f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}，x\ne 1，2，\\ \\ -2，x=1，\end{array}，f(x)在x=1处连续。& \\ & & \\ & 因为\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\infty ，所以x=2是无穷间断点，为第二类间断点。& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (2)当x=0时，f(x)=f(0)无定义，\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{tanx}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{x}=1，所以x=0是可去间断点，为第一类间断点，& \\ & & \\ & 重新定义函数：f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{x}{tanx}，x\ne k\pi ，k\pi +\frac{\pi }{2}，\\ \\ 1，x=0\end{array}（k\in Z），则f(x)在x=0处连续。& \\ & & \\ & 当x=k\pi (k=\pm 1，\pm 2，\cdot \cdot \cdot )，因为\underset{x\to k\pi }{\lim }\frac{x}{tanx}=\infty ，所以x=k\pi (k=\pm 1，\pm 2，\cdot \cdot \cdot )是无穷间断点，& \\ & & \\ & 为第二类间断点。& \\ & & \\ & 当x=k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in Z)，因为\underset{x\to k\pi +\frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{x}{tanx}=0，而函数在k\pi +\frac{\pi }{2}处无定义，& \\ & & \\ & 所以x=k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in Z)是可去间断点，为第一类间断点，重新定义函数：& \\ & & \\ & f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{x}{tanx}，x\ne k\pi ，k\pi +\frac{\pi }{2}，\\ \\ 0，x=k\pi +\frac{\pi }{2}\end{array}(k\in Z)，则f(x)在x=k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in Z)处连续。& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (3)当x=0时，\underset{x\to 0^{-}}{\lim }co{s}^2\frac{1}{x}和\underset{x\to 0^{+}}{\lim }co{s}^2\frac{1}{x}不存在，所以x=0为第二类间断点。& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (4)当x=1时，\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(3-x)=2，\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x-1)=0，因为左右极限存在，但不相等，& \\ & & \\ & 所以x=1是跳跃间断点，为第一类间断点。& \end{array}$

---

$\begin{array}{rlr}& 4.讨论函数f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}}x的连续性，若有间断点，则判别其类型。& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& f(x)=\{\begin{array}{l}-x，|x|>1，\\ \\ 0，|x|=1，\\ \\ x，|x|<1.\end{array}在x=-1处，因为\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }(-x)=1，\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }x=-1，& \\ & & \\ & \underset{x\to -1^{-}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)，所以x=-1是跳跃间断点，为第一类间断点。& \\ & & \\ & 当x=1时，\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }x=1，\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(-x)=-1，\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)，& \\ & & \\ & 所以x=1是跳跃间断点，为第一类间断点。& \end{array}$

---

$\begin{array}{rlr}& 5.下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例。& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (1)如果函数f(x)在\alpha 连续，那么|f(x)|也在\alpha 连续；& \\ & & \\ & (2)如果函数|f(x)|在\alpha 连续，那么f(x)也在\alpha 连续。& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& (1)对的，||f(x)|-|f(\alpha )||\le |f(x)-f(\alpha )|\to 0，x\to \alpha ，所以|f(x)也在\alpha 连续。& \\ & & \\ & (2)错的，f(x)=\{\begin{array}{l}1，x\ge 0，\\ \\ -1，x<0，\end{array}|f(x)|在x=0处连续，而f(x)在x=0处不连续。& \end{array}$

---

$\begin{array}{rlr}& 6.证明：若函数f(x)在点x_0连续且f(x_0)\ne 0，则存在x_0的某一邻域U(x_0)，当x\in U(x_0)时，f(x)\ne 0。& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 若f(x_0)>0，因为f(x)在x_0连续，所以取\epsilon =\frac{1}{2}f(x_0)>0，\exists \delta >0，当x\in U(x_0，\delta )时，& \\ & & \\ & 有|f(x)-f(x_0)|<\frac{1}{2}f(x_0)，则0<\frac{1}{2}f(x_0)<f(x)<\frac{3}{2}f(x_0).& \\ & & \\ & 若f(x_0)<0，因为f(x)在x_0连续，所以取\epsilon =-\frac{1}{2}f(x_0)>0，\exists \delta >0，当x\in U(x_0，\delta )时，& \\ & & \\ & 有|f(x)-f(x_0)|<-\frac{1}{2}f(x_0)，则\frac{3}{2}f(x_0)<f(x)<\frac{1}{2}f(x_0)<0.& \\ & & \\ & 因此，不论f(x_0)>0或f(x_0)<0，总存在x_0的某一邻域U(x_0)，当x\in U(x_0)时，f(x)\ne 0.& \end{array}$

---

$\begin{array}{rlr}& 7.设f(x)=\{\begin{array}{l}x，x\in Q，\\ \\ 0，x\in R\text{}Q，\end{array}证明：& \\ & & \\ & (1)f(x)在x=0连续；& \\ & & \\ & (2)f(x)在非零的x处都不连续。& \end{array}$

解：

( 1 ) ∀ ε > 0 ，取 δ = ε ，则当 ∣ x − 0 ∣ = ∣ x ∣ < δ 时， ∣ f ( x ) − f ( 0 ) ∣ = ∣ f ( x ) ∣ ≤ ∣ x ∣ < ε ， 故 lim ⁡ x → 0 f ( x ) = f ( 0 ) ，即 f ( x ) 在 x = 0 连续。 ( 2 ) 若 x 0 = r ≠ 0 ， r ∈ Q ，则 f ( x 0 ) = f ( r ) = r . 分别取一有理数列 { r n } : r n → r ( n → ∞ ) ， r n ≠ r ；取一无理数列 { s n } : s n → r ( n → ∞ ) ， 则 lim ⁡ n → ∞ f ( r n ) = lim ⁡ n → ∞ r n ， lim ⁡ n → ∞ f ( s n ) = lim ⁡ n → ∞ 0 = 0 ，而 r ≠ 0 ，由函数极限与数列极限的关系知 lim ⁡ x → r f ( x ) 不存在， 故 f ( x ) 在 r 处不连续 . 若 x 0 = s ， s ∈ R \ Q 。同理可证： f ( x 0 ) = f ( s ) = 0 ，但 lim ⁡ x → s f ( x ) 不存在，故 f ( x ) 在 s 处不连续。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \forall\ \varepsilon \gt 0，取\delta=\varepsilon，则当|x-0|=|x| \lt \delta时，|f(x)-f(0)| = |f(x)| \le |x| \lt \varepsilon，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 故\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=f(0)，即f(x)在x=0连续。\\\\ &\ \ (2)\ \ 若x_0=r \neq 0，r \in Q，则f(x_0)=f(r)=r.\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 分别取一有理数列\{r_n\}:r_n \rightarrow r\ (n \rightarrow \infty)，r_n \neq r；取一无理数列\{s_n\}:s_n \rightarrow r\ (n \rightarrow \infty)，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 则\lim_{n \rightarrow \infty}f(r_n)=\lim_{n \rightarrow \infty}r_n，\lim_{n \rightarrow \infty}f(s_n)=\lim_{n \rightarrow \infty}0=0，而r \neq 0，由函数极限与数列极限的关系知\lim_{x \rightarrow r}f(x)不存在，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 故f(x)在r处不连续.\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 若x_0=s，s \in R\verb|\|Q。同理可证：f(x_0)=f(s)=0，但\lim_{x \rightarrow s}f(x)不存在，故f(x)在s处不连续。 & \end{aligned} ​  (1)  ∀ ε>0，取δ=ε，则当∣x−0∣=∣x∣<δ时，∣f(x)−f(0)∣=∣f(x)∣≤∣x∣<ε，         故x→0lim​f(x)=f(0)，即f(x)在x=0连续。  (2)  若x0​=r=0，r∈Q，则f(x0​)=f(r)=r.         分别取一有理数列{rn​}:rn​→r (n→∞)，rn​=r；取一无理数列{sn​}:sn​→r (n→∞)，         则n→∞lim​f(rn​)=n→∞lim​rn​，n→∞lim​f(sn​)=n→∞lim​0=0，而r=0，由函数极限与数列极限的关系知x→rlim​f(x)不存在，         故f(x)在r处不连续.         若x0​=s，s∈R\Q。同理可证：f(x0​)=f(s)=0，但x→slim​f(x)不存在，故f(x)在s处不连续。​​

---

$\begin{array}{rlr}& 8.试举出具有以下性质的函数f(x)的例子：& \\ & & \\ & x=0，\pm 1，\pm 2，\pm \frac{1}{2}，\cdot \cdot \cdot ，\pm n，\pm \frac{1}{n}，\cdot \cdot \cdot 是f(x)的所有间断点，且它们都是无穷间断点。& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& f(x)=cot(\pi x)+cot\frac{\pi }{x}& \end{array}$