网络流（2）-----最小费用最大流（附带讲解SPFA算法）

article/2025/9/28 14:57:52

一.最小费用最大流（简称费用流）概念

1.什么是费用流问题

上篇文章我们讲解了最大流问题，那什么是最小费用最大流呢？听名字就可以看出，我们要在满足最大流的同时找到达成最大流的最小费用。对于一个网络流，最大流是一定的，但是组成最大流的费用是可以不同的，这里就有了在最大流网络上产生的费用流网络，就有了最小花费问题。

2.引例（洛谷 3381）

题目描述：

如题，给出一个网络图，以及其源点和汇点，每条边已知其最大流量和单位流量费用，求出其网络最大流和在最大流情况下的最小费用。

输入格式：

第一行包含四个正整数N、M、S、T，分别表示点的个数、有向边的个数、源点序号、汇点序号。

接下来M行每行包含四个正整数ui、vi、wi、fi，表示第i条有向边从ui出发，到达vi，边权为wi（即该边最大流量为wi），单位流量的费用为fi。

输出格式：

一行，包含两个整数，依次为最大流量和在最大流量情况下的最小费用。

4 5 4 3
4 2 30 2
4 3 20 3
2 3 20 1
2 1 30 9
1 3 40 5                                       50 280

二.算法分析

1.EK算法 + SPFA 最短路

（1）思路分析

<1>只要是网络流的增广路思想，我们都要不断去寻找增广路。寻找增广路时我们可以使用DFS,BFS。但是增广路往往是曲折而漫长的，有时候我们可能走了错误的路径，因为我们的目的是到达汇点，但是中间有些路会使我们距离汇点更远，或者走到了不通的路，从而使得路径要重新寻找，所以我们在求最大流的时候使用了BFS来找增广路，距离汇点越来越近。DFS很容易TLE QAQ

<2>在费用流中，我们仍要首先满足最大流的概念，那就必须仍要不断寻找增广路。但是为了让费用最小，那我们每次寻找的增广路都希望是花费最小的路。那么这里我们就可以使用最短路的思想来寻找增广路，每次优先使用花费最小的路径。因为图中反向建弧时，我们费用也要变成相反的（回流的时候相当于把钱拿回来），这就产生了负边问题，所以使用SPFA来求最短路。

<3>我们用每边单位流量的花费作为边权，假如一条增广路上每条边的花费分别为 c1,c2,.......ck ，那么这条边的最小流量为flow，则此增广路花费为： c1 * flow + c2*flow + ..... + ck*flow = （c1+ c2 + c3 + .... + ck）*flow = Sum（ci）*flow

这里的Sum（ci）就是我们要求的最短路！

（2）SPFA算法求最短路（会的请略过。。QAQ）

<1>Dijkstra算法为什么无法求负权图

Dijkstra算法使用的是贪心的思想，每次在当前边中，选一条最短边并且标记该边最短距离已经确定。但是当存在负权边时，当前最短的边不一定就是最短距离，因为下一次拓展加上负权边时可能会变得更小，所以在负权图中，当前最短边不一定是到该点的最短距离，与Dijkstra的算法思想矛盾，因此Dijkstra不适用负权图。如下图（来自某博客。。忘记哪个了，博主看到轻戳我）

<2>SPFA求最短路思路

摒弃了Dijkstra算法的选择当前最短边的思路，相反来想，既然存在负权边，那么最好的当然是用负权边去更新其他边，那么被负权边更新的其他边又可以用更小的距离去更新其他其他边，所以说由于负权边的存在，我们可以不断的用被更新的边去更新其他边，直到所有边都不再改变为止。（如果有负权无向边可能就成负权环了。。只能用于有向图？？）

<3>SPFA算法代码：

#include <iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int maxn = 100 +7;
struct Edge{int to,next,val;
}edge[maxn*100];
int head[maxn],n,m,tot,dist[maxn];
bool vis[maxn];
void addEdge(int a,int b,int c){edge[tot].to = b;edge[tot].next = head[a];edge[tot].val = c;head[a] = tot++;
}
void SPFA(int s){memset(vis,0,sizeof(vis));memset(dist,INF,sizeof(dist));queue<int> que;dist[s] = 0;que.push(s);while(!que.empty()){int u = que.front();que.pop();vis[u] = false;//取消当前点标记for(int i = head[u];~i;i = edge[i].next){int v = edge[i].to;if(dist[v] > dist[u] + edge[i].val){//如果连接点能更新dist[v] = dist[u] + edge[i].val;//更新if(!vis[v]){//如果未被标记，则标记入队，可以以更小的距离去更新其他边vis[v] = true;que.push(v);}}}}
}
int main()
{while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&(n||m)){tot = 0;memset(head,-1,sizeof(head));for(int i = 0;i<m;i++){int a,b,v;scanf("%d%d%d",&a,&b,&v);addEdge(a,b,v);}SPFA(1);if(dist[n]==INF)printf("Nothing\n");else printf("%d\n",dist[n]);}return 0;
}

（3）费用流 EK最大流 + SPFA最短路：

用SPFA求增广路 + EK算法求最大流

#include <iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int maxn = 5000 + 7;
struct Edge{int from,to,next,cap,flow,cost;
}edge[maxn*20];
int head[maxn],pre[maxn],dist[maxn],n,m,tot,s,t;
bool vis[maxn];
void addEdge(int a,int b,int c,int cost){//注意反向弧的负权值edge[tot].from = a;edge[tot].to = b;edge[tot].next = head[a];edge[tot].cap = c;edge[tot].flow = 0;edge[tot].cost = cost;head[a] = tot++;edge[tot].from = b;edge[tot].to = a;edge[tot].next = head[b];edge[tot].cap = 0;edge[tot].flow = 0;edge[tot].cost = -cost;head[b] = tot++;
}
bool SPFA(){//SPFA求增广路，dist[t]保存最小花费memset(dist,INF,sizeof(dist));memset(vis,0,sizeof(vis));queue<int> que;dist[s] = 0;vis[s] = 1;que.push(s);while(!que.empty()){int u = que.front();que.pop();vis[u] = 0;for(int i = head[u];~i;i = edge[i].next){int v = edge[i].to;if(edge[i].cap > edge[i].flow && dist[v] > dist[u] + edge[i].cost){dist[v] = dist[u] + edge[i].cost;pre[v] = i;if(!vis[v]){vis[v] = 1;que.push(v);}}}}if(dist[t]!=INF)return true;return false;
}
int CostFlow(int &flow){//EK算法int mincost = 0;while(SPFA()){//能找到增广路int Min = INF;for(int i = t;i!=s;i = edge[pre[i]].from){//寻找最小流Min = min(Min,edge[pre[i]].cap - edge[pre[i]].flow);}for(int i = t;i!=s;i = edge[pre[i]].from){//处理所有边edge[pre[i]].flow+=Min;edge[pre[i]^1].flow-=Min;}flow+=Min;mincost+=(dist[t]*Min);//累和最小花费}return mincost;
}
int main()
{int T;scanf("%d",&T);while(T--){tot = 0;memset(head,-1,sizeof(head));scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);for(int i = 0;i<m;i++){int a,b,c,cost;scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&cost);addEdge(a,b,c,cost);}int MaxFlow = 0;int MinCost = CostFlow(MaxFlow);printf("%d %d\n",MaxFlow,MinCost);}return 0;
}