统计推断——假设检验中 p 值的含义具体是什么？

「假设检验」，顾名思义，就是通过概率统计的知识来判断一个命题（如「抛掷一枚硬币出现正反面的概率是均匀的」，如「 $\beta$ 值大于0.75」）的真伪性。

这个命题便称作「零假设，null hypothesis」，我们通常可以将该命题用数学语言表达出来，比如：「抛掷一枚硬币出现正反面的概率是均匀的」可以定义为「硬币出现正面的概率 $\theta$ 为 $1/2$ ，即 $\theta=1/2$ 。」这个命题在统计学中通常用 $H_{0}$ 来表示，所以我们需要检验的假设写成：
$H_{0}$ ： $\theta=1/2$ 。

然后问题就来了，在什么情况下，我们认为 $\theta=1/2$ 这个假设是不正确的呢？我们需要给出一个判断条件，这个判断条件通常有三种给出方式：

1. $\theta$ 比 $1/2$ 大很多；
2. $\theta$ 比 $1/2$ 小很多；
3. $\theta$ 比 $1/2$ 大很多或小很多。

在统计学上，我们将这个判断条件称为「对立假设，alternative hypothesis」，通常用 $H_{1}$ 来表示，以上三种情况可以分别写为：

1. $H_{1}$ ： $\theta>1/2$ ；-----------单侧
2. $H_{1}$ ： $\theta<1/2$ ；-----------单侧
3. $H_{1}$ ： $\theta\neq 1/2$ 。-----------双侧

前两种对立假设下的检验被称为单侧检验，而第三种对立假设下的检验被称为双侧检验。

然而，「对立假设」的条件仍不是很明确，以第一种对立假设 $H_{1}$ ： $\theta>1/2$ 为例，究竟 $\theta$ 偏离 $1/2$ 多远，我们才认为零假设 $H_{0}$ ： $\theta=1/2$ 不成立，而对立假设成立呢？我们下一步要做的，就是要量化这个评判标准。很明显，我们的标准越严格，我们越有可能拒绝 $H_{0}$ 而接受 $H_{1}$ ，在这一过程中，我们可能会犯两种错误：

第1类错误： $H_{0}$ 是真的，但是由于我们标准过于严格，把他拒绝掉了；
第2类错误： $H_{0}$ 是假的，但是由于我们标准过于宽松，没有把它拒绝掉；

这两类错误在医学上概括为「假阳性」错误和「假阴性」错误。

$H_{0}$ ：该患者无病。

$H_{1}$ ：该患者异常。

「假阳性」例如把没病说成有病，把无效说成有效。

「假阴性」例如把有病说成没病，把有效说成无效。

虽然我们永远不会知道我们假设检验是否犯了错误，但幸运的是，我们可以知道我们犯这两类错误的概率。在制定评判标准的时候，我们要在犯两类错误的概率之间有所权衡。

我们将犯第1类错误的概率，即「拒绝了一个真的假设」的概率称为「显著性水平，significance level」，通常用字母 $\alpha$ 表示，即：

本来【该患者是没病的】，但检验之后我们认为【该患者是有病的】；显著性水平即为「被告」 $H_{0}$ 被误诊的概率。通常情况下，我们不希望被误诊，所以我们会在进行假设检验之前，取定一个 $\alpha$ 的值，而且这个值通常比较小。

在一定的 $\alpha$ 的值的情况下，我们去考察犯第2类错误的概率，即「接受了一个假的假设」的概率，通常用字母 $\beta$ 表示，

显然，我们希望这个概率越小越好，因为这个概率越小，我们的检验能力越厉害。我们用「检验的功效」来刻画我们检验的厉害程度，用 $\pi$ 来表示：

也就是，在尽量不将【实际无病患者说成有病患者】（第一类错误越小）的情况下，我们越能找出【实际有病却说成无病的患者】，我们这个假设检验的势就越大。即控制两个错误出现的概率（ $\large \alpha$ ， $\large \beta$ ）都尽量小，但是在实际操作中，给定的 $\large \alpha$ 小，则 $\large \beta$ 就大，反之亦然。

P值的意义

之前说到，当我们进行一个假设检验之前，通常要先选定一个显著性水平，也就是你所能接受的假阳性（无病说有病）的概率。然而，每位医生在这一点上是有分歧的，有的人希望 $\large \alpha$ 大一点儿，有的人希望 $\large \alpha$ 小一点儿。（ $\large \alpha$ 越大，意味着检验越严格，我们将无病患者说有病的概率就越大）

在这种情况下，我们就期望回答一个问题：对于面前的这个患者（假设其无病），我们拿到了他的数据，计算其不会误诊（无病说有病）他的最严格的检验水平( $\large P$ )，即最大的 $\large \alpha$ 是多少？得到了这个问题的答案，我们就可以轻松完成在任意严格程度上的检验了，如果某位医生所希望的 $\large \alpha$ （实现确定的显著性水平）大于这个值( $\large P$ )，那么我们就认为患者存在异常，反之亦可。

如果 $\large P\leq \alpha$ ，，表明“不大可能”犯假阳性错误（无病说有病），即推翻零假设。

如果 $\large P> \alpha$ ，，表明“颇有可能”犯假阳性错误（无病说有病），推翻零假设的风险太大，保持原假设。

而这个最大的 $\large \alpha$ ，就是我们的 $\large P$ 值，即

所概括的：

假设检验正确（零假设成立）的情况下，得到当前情况乃至更差情况的概率。

【通俗理解】：

在零假设成立的条件（模型）下，当前情况及更差情况发生的概率（ $\large P$ ）较大，大于我们可以允许的抽样误差范围（显著性水平 $\large \alpha$ ），说明在当前假设下，仍有较大可能发生此情况，则保留原假设，拒绝备择假设。

当前情况及更差情况发生的概率（ $\large P$ ）较小，远小于我们可以允许的抽样误差范围（显著性水平 $\large \alpha$ ），说明当前假设下，不大可能发生此情况，则拒绝原假设。

对于一枚均匀的硬币来说，
投掷20次，得到18次正面是当前情况，
投掷20次，得到18次反面对于硬币的均匀性来说，是同样「差」的情况，
而投掷20次，出现19次正面、出现20次正面，出现19次反面，出现20次正面，对于硬币的均匀性来说，都是比当前情况「更差」的情况。
所以， $\large P$ 值就是将一枚均匀的硬币投掷20次，出现以下情况的概率：

18次正面，19次正面，20次正面，18次反面，19次反面，20次反面

注意，这是在「双侧检验」的前提下得到的结论，即我们的「对立假设」为通常意义下的「硬币不均匀」，即出现太多的正面与太多的反面是同样不好的情况。

如果我们换一个「对立假设」，采用「单侧检验」的方式，即允许均匀硬币出现更多的反面，即「硬币不均匀」是指「投掷硬币出现了异常多的正面」。「对立假设」意味着，即使我们投掷一枚硬币一亿次都是反面，我们仍旧认为它是「均匀的」。此时， $\large P$ 值就是将一枚均匀的硬币投掷20次，出现以下情况的概率：

18次正面，19次正面，20次正面

接下来我们通过代码来验证上面的理论。

假设我们投掷一枚硬币20次，结果得到18次正面和2次反面，基于这个结果，我们怀疑这个硬币质地不均匀，落地时正面朝上的可能性更大。

基于以上命题，可以进行验证，我们验证的思路是这样的：我们计算出当质地均匀时，出现这种情况的概率，根据小概率事件的原理，如果我们硬币质地均匀，我们抽到此种情况（18次正面，2次反面）的概率很低，那么我们认为这种情况（18次正面，2次反面）在质地均匀的条件下是很难发生的，我们就有理由认为硬币是不均匀的。

import collections
#模拟每组20次的投掷硬币结果，0表示正面，1表示反面
def RunModel(n): #n为样本单组投掷的次数sample=np.random.choice(2,n)counter=collections.Counter(sample)data=counter[0],counter[1]return data#计算每组投掷结果正面和反面差值的绝对值
def testStatistic(data):heads,tails=datadi=abs(heads-tails)return di#模拟1000组的结果
a=[testStatistic(RunModel(20)) for _ in range(1000)]
sorted(a,reverse=True) #对正反面差值出现的次数进行降序处理

输出：

计算比当前情况(18次正面和2次反面)乃至更差情况出现的次数，及出现的概率。

b=sum(1 for x in a if x>=18-2) #计算比当前情况乃至更差情况出现的次数
b/1000

输出：

2
0.002

在质地均匀硬币的1000次试验当中，仅有两次出现了比当前情况更极端的现象，出现的概率为0.002，概率极低，我们认为在质地均匀的条件下发生此情况的可能性极低，我们更倾向去相信硬币是不均匀的。

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