GBDT总结

一：声明

本文基本转自刘建平先生的该篇文章，原文写的很好，读者可以去看看。本文中，作者将根据自己实际项目和所学结合该文章，阐述自己的观点和看法。

二：GBDT概述

GBDT也是集成学习Boosting家族的成员，但是却和传统的Adaboost有很大的不同。回顾下Adaboost，我们是利用前一轮迭代弱学习器的误差率来更新训练集的权重，这样一轮轮的迭代下去。GBDT也是迭代，使用了前向分布算法，但是弱学习器限定了只能使用CART回归树模型，同时迭代思路和Adaboost也有所不同。

在GBDT的迭代中，假设我们前一轮迭代得到的强学习器是ft−1(x), 损失函数是L(y,ft−1(x)), 我们本轮迭代的目标是找到一个CART回归树模型的弱学习器ht(x)，让本轮的损失函数L(y,ft(x))=L(y,ft−1(x)+ht(x))最小。也就是说，本轮迭代找到决策树，要让样本的损失尽量变得更小。

GBDT的原理：

梯度提升决策树(Gradient Boosting Decison Tree,GBDT) 由Friedman于1999年提出，是一种boost类集成算法，其核心思想是通过多轮迭代生成多个弱分类器，在每一轮迭代后计算损失函数负梯度在当前模型的值，来作为残差的近似值，即后一棵树以前面树林的结果与真实结果的残差为拟合目标，即每个分类器的训练都是基于上一轮分类器预测结果的残差，以串行的方式往残差减小的方向进行迭代，最后将每个训练好的弱分类器进行加权求和，得到最终的强分类器。简而言之，GBDT就是利用前项分布算法和加法模型（基函数的线性组合–此处为CART树,不论是回归还是分类问题，都是用的cart树），不断减小训练过程中的误差来实现数据的分类或者回归的算法。

小case
　GBDT的思想可以用一个通俗的例子解释，假如有个人30岁，我们首先用20岁去拟合，发现损失有10岁，这时我们用6岁去拟合剩下的损失，发现差距还有4岁，第三轮我们用3岁拟合剩下的差距，差距就只有一岁了。如果我们的迭代轮数还没有完，可以继续迭代下面，每一轮迭代，拟合的岁数误差都会减小。

三. GBDT回归算法

GBDT的回归算法
前面我们介绍了GBDT的基本概况，但是没有解释GBDT的损失函数拟合方法的问题，虽然我们都知道在回归问题的GBDT中，是用损失函数的负梯度来拟合本轮损失的近似值，进而拟合一个cart回归树。但我们需要知道的是为什么我们可以用损失函数负梯度在当节点的值来作为残差的近似值。笔者在提升树算法文章中进行了证明，读者朋友可以看看。第t轮的第i个样本的损失函数的负梯度表示为：
在这里插入图片描述
　利用(xi,rti)(i=1,2,…m),我们可以拟合一颗CART回归树，得到了第t颗回归树，其对应的叶节点区域Rtj,j=1,2,…,J。其中J为叶子节点的个数。

针对每一个叶子节点里的样本，我们求出使损失函数最小，也就是拟合叶子节点最好的的输出值ctj如下　在这里插入图片描述
这样我们就得到了本轮的决策树拟合函数如下：

从而本轮最终得到的强学习器的表达式如下：

通过损失函数的负梯度来拟合，我们找到了一种通用的拟合损失误差的办法，这样无轮是分类问题还是回归问题，我们通过其损失函数的负梯度的拟合，就可以用GBDT来解决我们的分类回归问题。区别仅仅在于损失函数不同导致的负梯度不同而已。

四： GBDT回归算法总结

有了上面的思路，我们就可以对GBDT回归算法进行总结，详细的细节，还是可以参考上面的提升树算法。这里为什么不加上分类算法，是因为分类算法的输出不是连续的值，需要一些处理才能使用负梯度，下一节再讲。
步骤：
输入训练样本集T = {（x1,y1），(x2,y2)…(xm,ym)},损失函数L
输出：强学习模型f(x)
1，初始化弱学习器：
在这里插入图片描述
2，对迭代轮数t=1,2,…T有：

a)对样本i=1,2，…m，计算负梯度

在这里插入图片描述
b)利用(xi,rti)(i=1,2,…m), 拟合一颗CART回归树,得到第t颗回归树，其对应的叶子节点区域为Rtj,j=1,2,…,J。其中J为回归树t的叶子节点的个数。

c) 对叶子区域j =1,2,…J,计算最佳拟合值
在这里插入图片描述
d) 更新强学习器

3，得到强学习器f(x)的表达式

五：GBDT分类算法总结

GBDT的分类算法从本质上讲同GBDT的回归算法没有区别，但是由于样本输出是离散类别的值，我们无法通过输出类别去拟合类别输出的误差。
为了解决这个问题，主要有两种办法，一种是利用指数损失函数，此时GBDT退化为Adboost算法，了，另一种是利用类似逻辑回归的对数似然损失函数的方法，也就是说我们是用的类别的预测概率值和真实概率值得差来拟合损失函数，由于在前面我们介绍了Adboost算法，本文仅讨论用对数似然损失函数的GBDT分类。而对于对数似然损失函数，我们又有二元分类和多元分类的区别。
5.1 二元GBDT分类算法
对于二元GBDT，笔者在gbdt+lr文中也进行了阐述，这里只做简要概括。如果用类似于逻辑回归的对数似然损失函数，则损失函数为：
在这里插入图片描述
其中y∈{−1,+1}。则此时的负梯度误差为：

对于生成的决策树，我们各个叶子节点的最佳负梯度拟合值为
在这里插入图片描述

由于上式比较难优化，我们一般使用近似值代替
在这里插入图片描述
除了负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合的线性搜索，二元GBDT分类和GBDT回归算法过程相同。

5.2 多元GBDT分类算法
　多元GBDT要比二元GBDT复杂一些，对应的是多元逻辑回归和二元逻辑回归的复杂度差别。假设类别数为K，则此时我们的对数似然损失函数为：
　在这里插入图片描述
　其中如果样本输出类别为k，则yk=1。第k类的概率pk(x)的表达式为：
　
　集合上两式，我们可以计算出第t轮的第i个样本对应类别l的负梯度误差为
　
观察上式可以看出，其实这里的误差就是样本i对应类别l的真实概率和t−1轮预测概率的差值。

对于生成的决策树，我们各个叶子节点的最佳负梯度拟合值为　　　在这里插入图片描述
　由于上式比较难优化，我们一般使用近似值代替

在这里插入图片描述
　　除了负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合的线性搜索，多元GBDT分类和二元GBDT分类以及GBDT回归算法过程相同。

6，GBDT的损失函数

这里我们再对常用的GBDT损失函数做一个总结。

对于分类算法，其损失函数一般有对数损失函数和指数损失函数两种:

a) 如果是指数损失函数，则损失函数表达式为
在这里插入图片描述
b) 如果是对数损失函数，分为二元分类和多元分类两种，参见5.1节和5.2节。

对于回归算法，常用损失函数有如下4种:
a)均方差，这个是最常见的回归损失函数了
在这里插入图片描述
　b)绝对损失，这个损失函数也很常见
　
　对应的梯度为：
　
　c)Huber损失，它是均方差和绝对损失的折衷产物，对于远离中心的异常点，采用绝对损失，而中心附近的点采用均方差。这个界限一般用分位数点度量。损失函数如下：
　在这里插入图片描述
　对应的负梯度误差为：

　d) 分位数损失。它对应的是分位数回归的损失函数，表达式为

在这里插入图片描述
　其中θ为分位数，需要我们在回归前指定。对应的负梯度误差为：

在这里插入图片描述
　对于Huber损失和分位数损失，主要用于健壮回归，也就是减少异常点对损失函数的影响。

7，GBDT的正则化

和Adaboost一样，我们也需要对GBDT进行正则化，防止过拟合。GBDT的正则化主要有三种方式。

第一种是和Adaboost类似的正则化项，即步长(learning rate)。定义为ν,对于前面的弱学习器的迭代
在这里插入图片描述
　如果我们加上了正则化项，则有
　
　ν的取值范围为0<ν≤1。对于同样的训练集学习效果，较小的ν意味着我们需要更多的弱学习器的迭代次数。通常我们用步长和迭代最大次数一起来决定算法的拟合效果。
　　第二种正则化的方式是通过子采样比例（subsample）。取值为(0,1]。注意这里的子采样和随机森林不一样，随机森林使用的是放回抽样，而这里是不放回抽样。如果取值为1，则全部样本都使用，等于没有使用子采样。如果取值小于1，则只有一部分样本会去做GBDT的决策树拟合。选择小于1的比例可以减少方差，即防止过拟合，但是会增加样本拟合的偏差，因此取值不能太低。推荐在[0.5, 0.8]之间。
　　使用了子采样的GBDT有时也称作随机梯度提升树(Stochastic Gradient Boosting Tree, SGBT)。由于使用了子采样，程序可以通过采样分发到不同的任务去做boosting的迭代过程，最后形成新树，从而减少弱学习器难以并行学习的弱点。
　　第三种是对于弱学习器即CART回归树进行正则化剪枝。在决策树原理篇里我们已经讲过，这里就不重复了。
8,GBDT的优缺点：
最后总结下GBDT的优缺点。