Laplace operator 拉普拉斯算子

article/2025/8/25 14:56:32

一概要介绍

我们主要关注拉普拉斯算子在图像方面的应用。首先，列出二维拉普拉斯算子的定义：

$\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2f}{\partial y^2}$

从公式中可以看到，Laplace 算子在图像上，实际就是 x, y 两个方向的二阶偏导数求和。为什么这个算子可以检测边缘呢？我们可以看一下图示：
灰度曲线和一阶导数
上面左图，是图像灰度变化的曲线。在图的中心部分，灰度有一个明显的上升变化。而这个变化，我们可以认为是边缘（不严谨的说）。中心点的圆圈处，是该曲线一阶导数（梯度）最大的点。

上面右图，是对应左图的一阶导函数。我们可以看出，对应的一阶导函数的最大值，也已经用圆圈标注了。
二阶导数
上图，是灰度曲线的二阶导函数。对应着前两幅图看，圆圈标注的依然是一阶导函数的极值点，而在该点两侧，二阶导函数的符号是相反的。

到此为止，我们可以解释为什么拉普拉斯算子可以检测边缘了。边缘处的二阶导函数是过零点，即：左右符号相反的点。注意：单单是为零的点，不足以判断边缘。因为，平滑图像一阶，二阶倒数也可能为零。

二计算过程

由于图像可以看做是二元函数，其中 x，y 的值是离散的，最小变化量为 1。因此可以用差分代替微分的计算。求导的时候：

连续形式： ${f}'(x_{0}) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$
离散形式： ${f}'(x_{0}) = \lim_{\Delta x \to 1} \frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$

有了离散形式，我们就不难得出图的一阶偏导函数了：

$\frac{\partial f}{\partial x} = f(x+1, y) - f(x, y)$
$\frac{\partial f}{\partial y} = f(x, y+1) - f(x, y)$

然后，在一阶偏导函数的基础上，求二阶偏导函数。在求一阶偏导函数的时候，我们是通过 x+1 的形式来近似求 x 点的偏导的，直观上来讲取值有点偏右了。那么在求二阶导函数的时候，我们让 x = x - 1 来近似 x 点，更为恰当。所以，二阶偏导函数为：

$\frac{\partial^{2}f} {\partial x^{2}}=f(x+1, y) - f(x, y) - (f((x-1)+1, y) - f(x-1, y))=f(x+1, y)+f(x-1, y)-2f(x, y)$
$\frac{\partial^{2}f} {\partial y^{2}}=f(x, y+1) - f(x, y) - (f(x, (y-1)+1) - f(x, y-1))=f(x, y+1)+f(x, y-1)-2f(x, y)$

由拉普拉斯算子的定义，把上面两式求和，即：

$\Delta f = f(x+1,y) + f(x-1,y) + f(x,y+1) + f(x,y-1) - 4f(x,y)$

上面的式子，用在图像里可以看做上，下，左，右的点求和，减去四倍的中心点。因此，可以用如下模版对图像做卷积：
$\begin{bmatrix} 0 & 1& 0\\ 1& -4& 1\\ 0& 1& 0 \end{bmatrix}$

三运行示例

下面是一个非常简单且直白的测试图：
原始图像
处理后的图像

四扩展模版

注意，扩展模版中元素和应为 0。

$\begin{bmatrix} 0 & -1& 0\\ -1& 4& -1\\ 0& -1& 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -1 & -1& -1\\ -1& 8& -1\\ -1& -1& -1 \end{bmatrix}$

上面模版元素的符号与最初模版的符号相反。这里需要注意的是，符号相反，使得算子的结果符号也是相反的。这对于检测过零点并没有什么影响，但是如果是用该算子锐化图像，则要注意结果的加减运算。锐化是为了让灰度差异更加突出，因此，模版中心符号为负，应该减去计算结果。模版中心为正，应该加上计算结果。

$\begin{bmatrix} 1& 1& 1\\ 1& -8& 1\\ 1& 1& 1 \end{bmatrix}$

正常的拉普拉斯算子是各向同性滤波器，意味着图像旋转并不影响结果。但默认的模版只在 90 度方向上存在这个不变性，而扩展模版则在 45 度方向上具有了该特性。

五相关问题

laplace 算子为何是 x 和 y 的二阶偏导的和。

这样可以同时响应 x，y 两个方向梯度的变化。通常来讲，边缘的特性是在同一点，只有一个边缘梯度方向。比如说是水平的，或者垂直的，或者 45 度这样的，这些情况都没有问题。但有一个极特殊情况，那就是 x，y 方向的二阶偏导是相互抵消的，导致边缘没有响应，或者响应变弱了。这种情况虽然极少，但确实是存在的。好在即使存在，也只可能是个别点，基本可以忽略。
laplace 算子的优劣之处

由于 laplace 使用二阶偏导找过零点，那么对一些很小的灰度变化，也能灵敏的响应。但这也导致了其对噪声很敏感，尤其是孤立的噪声点特别强烈。因此，最好提前进行平滑处理，比如使用高斯滤波。高斯和拉普拉斯算子结合在一起，就是 LoG 算子，这个后面再说。

由于 laplace 使用二阶偏导数，使其对应平缓的梯度变化不敏感，这是区别于一阶导数的地方。因此，如果不想检测出平缓的粗边缘，使用二阶导数更合适。

laplace 可以通过两侧的符号判断边缘灰度是增还是减，有一定的实际用途。