前言：仅个人小记
秩一矩阵非常漂亮的五个性质：
（1）秩一矩阵一定能够拆解为两个列向量$\vec{a}$，$\vec{b}$矩阵乘积的形式，具体为$A=\vec{a}{\vec{b}}^T$这种形式
（2）秩一方阵的特征值之和即矩阵的迹，即矩阵主对角线之和等于上述两个向量的内积，即$\vec{a}\vec{b}$
（3）秩一方阵的特征值可以一眼看出，即只有一个非零特征值为$\lambda =traA=\Sigma a_{ii}=\vec{a}\vec{b}$，其他即为零特征值。
（4）很好地从另一个角度诠释了矩阵乘法，如下，
$\overrightarrow{u_i},\overrightarrow{v_i}$都是列向量。
$$U{V}^T=([\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2},...,\overrightarrow{u_n}])({[\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},...,\overrightarrow{v_n}]}^T)=\overrightarrow{u_1}{\overrightarrow{v_1}}^T+\overrightarrow{u_2}{\overrightarrow{v_2}}^T+...,\overrightarrow{u_n}{\overrightarrow{v_n}}^T$$

上式，右侧为秩一矩阵之和。从列向量或者行向量的角度很容易理解$\vec{u}{\vec{v}}^T$是秩为一的矩阵。
（5）具备$A^2=kA$这种极好的可以用于解决高次幂矩阵乘法问题的性质，具体推导如下，$$\begin{gathered} A=\vec{a}{\vec{b}}^T \\ {A}^2=AA=\vec{a}{\vec{b}}^T\vec{a}{\vec{b}}^T=\vec{a}({\vec{b}}^T\vec{a}){\vec{b}}^T=k\vec{a}{\vec{b}}^T=kA \\ {A}^2=kA \end{gathered}$$

关于第（3）点本人仍未能够给出很好的证明。据本人目前的判断，这一点是稳定是成立的。本人现有如下解释：r(A)=1，$(A-\lambda )\vec{x}=\vec{0}$，显然，当$\lambda =0$时，必然矩阵$A-\lambda$的秩为1，所以齐次线性方程组方程组必然有n-1个线性无关的解向量，而这正是完全符合特征向量的要求，n-1个特征向量撑起了n-1维的特征空间，我认为一个2重根的特征值可能只对应一个特征向量，但是如果m个线性无关特征向量对应的同一个特征值则必然这个特征值至少是m重特征根。

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