图像降噪算法——图像噪声模型

1. 图像噪声建模

首先，我们要区分图像传感器噪声和图像噪声，图像传感器噪声我在博客图像传感器与信号处理——详解图像传感器噪声中有过总结，图像传感器噪声会造成各种各样的图像噪声。

其次，我们需要了解图像降噪模型，图像降噪模型可以建模为：$$y=x+n$$其中，$y$是观察到的噪声图像，$x$是图像真值，$n$是图像噪声，图像降噪过程就是通过$y$获取$x$，在许多论文中将这个过程描述为不可逆过程，这也就是为什么图像降噪难。本博客就是对图像噪声$n$进行建模：

《数字图像处理》一书中对噪声建模主要有一下几种类型：

（1）高斯噪声
高斯噪声是最常见也是最重要的的一种噪声，众多的图像降噪算法都是以降低高斯噪声为目标设计的，其概率密度函数如下所示：$$p(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-(z-\mu {)}^2}{/}_{2{\sigma }^2}$$其中，$\sigma$是标准偏差，$\mu$是灰度值的平均值，这个公式说明的是灰度值为$z$的概率为多少。

（2）瑞利噪声
瑞丽噪声的概率密度函数如下所示：$$p(z)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{b}(z-a){\mathrm{e}}^{-(z-a{)}^2/b},& z⩾a\\ 0,& z<a\end{array}$$概率密度的均值和方法分别为：$$\bar{z}=a+\sqrt{\pi b/4}$$$${\sigma }^2=\frac{b(4-\pi )}{4}$$瑞利噪声对于图像直方图近似倾斜的图像中的噪声建模较为有效。

（3）伽马噪声
伽马噪声的概率密度函数如下所示：$$p(z)=\{\begin{array}{cl}\frac{a^b{z}^{b-1}}{(b-1)!}{\mathrm{e}}^{-az},& z⩾a\\ 0,& z<a\end{array}$$其中均值和方差分别为$$\bar{z}=\frac{b}{a}$$$${\sigma }^2=\frac{b}{a^2}$$伽马噪声相对瑞利噪声分布会更加倾斜

（4）指数噪声
指数噪声的概率密度函数如下所示：$$p(z)=\{\begin{array}{ll}a{\mathrm{e}}^{-az},& z⩾0\\ 0,& z<0\end{array}$$其概率密度函数的均值和方差分别为$$\bar{z}=\frac{1}{a}$$$${\sigma }^2=\frac{1}{a^2}$$指数噪声分布相对伽马噪声又会进一步倾斜

（5）量化噪声
量化噪声又称均匀噪声，此类噪声是由于将模拟数据转换为数字数据而引起的，因此是幅度量化过程中固有的，其概率密度函数如下：$$p(z)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a⩽z⩽b\\ 0& otherwise\end{array}$$
（6）椒盐噪声
椒盐噪声又称脉冲噪声、尖峰噪声，在图像上表现为随机分布的黑白点，其概率密度函数如下图所示：
$$p(z)=\{\begin{array}{ll}{P}_a,& z=a\\ P_b,& z=b\\ 1-P_a-P_b,& otherwise\end{array}$$椒盐噪声可以通过中值滤波器进行消除。

以上即《数字图像处理》中对各个图像噪声的建模，对于的概率密度函数的不同，书中给出了这样一张图予以区分：
那么除了《数字图像处理》中提到的几种图像噪声模型外，一般还有如下几种模型：

（7）泊松噪声
泊松噪声又称散粒噪声，我们知道，光源每秒发射的光子到达CMOS的越多，则该像素的灰度值越大。但是因为光源发射和CMOS接收之间都有可能存在一些因素导致某个光子并没有被CMOS接收到或者某个像素一时间段内发射的光子特别多，所以这就导致了灰度值的波动，也就产生了泊松噪声，方程描述为：$$p[(N(t+\tau )-N(t))=k]=\frac{e^{-\lambda \tau }(\lambda \tau {)}^k}{k!}k=0,1,\dots$$这个公式说明的是某个像素在间隔时间$\tau$内接收到$k$个光子的概率为多少。

（8）斑点噪声
在相干成像系统（如雷达，激光和声学等）中可以看到斑点噪声的出现，其概率密度函数如下：$$p(z)=\frac{z^{a-1}{e}^{-z/a}}{a-1!a^a}$$斑点噪声在光学成像系统中很少出现，因此这里不作赘述。

（6）周期性噪声
周期性噪声无法用概率密度函数进行描述，也无法在空间域中进行消除，通常的方法是通过频域中的带阻滤波器进行消除，如下图所示，从左至右，第一幅图原始图像，第二幅图为频域图像，第三幅图为带阻滤波器，第四幅图为滤波后的图像。

2. C++代码实现

下面分别是生成椒盐噪声和高斯噪声的函数：

at Noise::CreateSaltNoise(const Mat &src, int n)
{Mat dst = src.clone();for(int k = 0; k<n; k++){int i = rand() % dst.rows;int j = rand() % dst.cols;if(dst.channels() == 1){dst.at<uchar>(i,j) = 255;}else{dst.at<Vec3b>(i,j)[0] = 255;dst.at<Vec3b>(i,j)[1] = 255;dst.at<Vec3b>(i,j)[2] = 255;}}for(int k = 0; k<n; k++){int i = rand() % dst.rows;int j = rand() % dst.cols;if(dst.channels() == 1){dst.at<uchar>(i,j) = 0;}else{dst.at<Vec3b>(i,j)[0] = 0;dst.at<Vec3b>(i,j)[1] = 0;dst.at<Vec3b>(i,j)[2] = 0;}}return dst;
}Mat Noise::CreateGaussianNoise(const Mat &src, double mu, double sigma)
{Mat dst = src.clone();int row = dst.rows;int col = dst.cols;for(int i = 0; i<row; i++){for(int j = 0; j<col; j++){if(dst.channels() == 1){//构建高斯噪声double u1, u2;do{u1 = rand() * (1.0 / RAND_MAX);u2 = rand() * (1.0 / RAND_MAX);} while (u1 <= numeric_limits<double>::min());//u1不能为0double z = sigma * sqrt(-2.0 * log(u1)) * cos(2 * CV_PI * u2) + mu;//double z = sigma * sqrt(-2.0 * log(u1)) * sin(2 * CV_PI * u2) + mu;int val = dst.at<uchar>(i,j) + z * 32;val = (val<0)?0:val;val = (val>255)?255:val;dst.at<uchar>(i,j) = (uchar)val;}else{for(int k = 0; k<dst.channels(); k++){//构建高斯噪声double u1, u2;do{u1 = rand() * (1.0 / RAND_MAX);u2 = rand() * (1.0 / RAND_MAX);} while (u1 <= numeric_limits<double>::min());//u1不能为0double z = sigma * sqrt(-2.0 * log(u1)) * cos(2 * CV_PI * u2) + mu;//double z = sigma * sqrt(-2.0 * log(u1)) * sin(2 * CV_PI * u2) + mu;int val = dst.at<Vec3b>(i,j)[k] + z * 32;int test = dst.at<Vec3b>(i,j)[k];val = (val<0)?0:val;val = (val>255)?255:val;dst.at<Vec3b>(i,j)[k] = (uchar)val;}}}}return dst;
}

下面是运行结果：
首先，下面是原图：

加上高斯噪声后的结果

加上椒盐噪声后的结果：

3. 结论

1. 高斯噪声、瑞丽噪声、伽马噪声、指数噪声其实是比较类似的，只是统计分布会稍有区别，如果用代码实现应该是类似的。
2. 研究图像噪声模型对于图像降噪算法的实现是非常重要的，比如我看Review的时候就有大佬提到，对于目前效果最好的深度学习降噪算法，其难于实际应用的一个方面就是训练模型所用的噪声都是高斯噪声，而我们摄像头拍摄图像的实际噪声要远比高斯噪声复杂，因此如果更好地对图像噪声进行建模非常重要。

那这一小节就总结到这儿啦，有问题欢迎交流～

此外，这里我写一个各种算法的总结目录图像降噪算法——图像降噪算法总结，对图像降噪算法感兴趣的同学欢迎参考