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目录：

 

3. 古典概率Classical Probability

频率概率：

古典概型：

这个例子，n的区别就是指定和没有指定。

后面365*364******* 意思是每个人的生日都不一样，就是一个排列。题目要求的至少两人，它的对立面就是少于两人，那意思就是每一个人的生日都不一样。

 

4. 几何概率 geometric probability

面积示例：

思考下面这种问题方式，不用从几何导代数，要依靠几何，从代数到几何。比如我们先定义了x 和 y，他们代表的就是两人到达的时间点，都被特征化到了0-60. 很显然几何上就是一个正方形，然后互相只等15min，那就是差的绝对值小于等于15就行了，然后根据这个画图即可。

角度示例：

这个问题想出 x 和 角度 的取值范围都很简单，然后可以把他们转化为几何和代数，可以把 x 看作值域，角度看作定义域，这样图上就已经画出了一片空间。

然后建立一个满足要求的方程：方程的思想是针的中心点和边的距离0到某个方程，这样 x 的方程式就出来了。然后画在图上，积分求面积即可。

这个问题有三种解法：

任意做弦，当且仅当该弦的半径在半径为r/2圆内时成立才行。

任意做弦，根据圆的对称性，由对称性，确定两条 根号三r的弦，大于它的肯定就固定在这里面。答案也很好出来，因为是正三角形，DC弧长是圆周长的⅓,所以概率也就知道了。

任意做弦，弦肯定垂直于某个直径，根据对称性我们可以先确定一个直径，然后只考虑和该直径垂直的弦，只考虑中点能在该直线上移动的距离。

这里发现三种方法都没错，但是但是但是！！！答案却不一样！！

因为：任意做弦中任意是会产生很大很大区别的。

 

5. 概率定义及性质

只要定义在f上的，满足三个性质的p，我们都称为概率。 古典概率和几何概率都满足以下概率。

概率的性质：

 

6. 条件概率 Conditional Probability

条件概率既是指当某个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率；

A就是古典概型（样本有限，等可能发生）

其实这个定义并不完全准确，很多时候，当某个事件没有发生的情况下，一个事件的概率也会发生变化；关键是看评估这个事件的概率的前提是什么，既是针对什么样的样本空间进行评估的，这才是条件概率真正的涵义所在；所以，笔者给出一个更为准确的定义，如下，

条件概率是指在某个特定前提条件下（既一个特定的样本空间 S ）的特定的概率；比如，通常情况下，我们有事件 B 的概率 𝑃(𝐵)=𝐵/Ω，但是如果我们将事件 B 所参照的样本空间 Ω变为 𝑆，且𝑆 是 Ω 的子集，B 与 𝑆存在交集 BS，这时 B 相对于前提条件 𝑆的概率为

数学上，将上式中的 𝑃(𝐵)′ 表示为 𝑃(𝐵|𝑆)，所以我们有

所以归纳起来，条件概率就是指某个事件 B 对样本空间 Ω 的某个子集 𝑆 的概率，而与其它某个事件是否真的发生与否无关，唯一变化的是计算概率的样本空间发生了改变而已。

乘法公式：

一般乘法公式：

这个题目P（AB）不能像上一个那样P（A）P（B）因为AB事件不是相关的，这个题目里面明显是相关的，30年内发洪水就包括了40年，所以P（AB）就是取交集，交集就是30年发洪水。这个不是相互独立的。

 

7. 乘法公式和全概率公式

 

联合概率：指的就是事件 A 与事件 B 同时发生的概率，我们理解一下，B 事件具有一定概率发生，在 B 事件概率发生时事件 A 此时有一定概率发生， 它们的乘积可就是联合概率，这个过程也能建立在A发生的基础上。有没有明白呢，就是一旦我知道 B 可能发生的概率，在这个基础上 A 在发生不就是联合发生了吗。 

可以记做 P(A,B)=P(A|B)⋅P(B)=P(B|A)⋅P(A)，当两个事件相互独立时P(A,B)=P(A)⋅P(B)。