亨利·庞加莱 (JulesHenri Poincaré)是法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家，1854年4月29日生于法国南锡，1912年7月17日卒于巴黎。庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学、天体力学、数学物理、多复变函数论、科学哲学等许多领域。

提到庞加莱，可能人们最先想到的是著名的“庞加莱猜想”，不过这一小节我们聊聊庞加莱一段真实又有趣的故事，这个故事对于理解数理统计中假设检验这个模块很有帮助。

我们买一些食品时，食品的重量多少会有些浮动，例如面包包装袋的重量标识可以这样写：

表示面包的重量应该是1000g，但由于种种原因可能会有50g的误差。庞加莱是个每天都会吃面包的人，他也遇到了同样的事，一个面包师声称卖给庞加莱的面包平均重量是1000g，上下浮动50g。这位面包师每天都会卖个庞加莱一个面包，面对这位忠实的顾客，他没有丝毫的防备，按照自己的买卖方式每天卖个这位数学天才1个面包，不过这位面包师的噩梦也从此开始。

 

在庞加莱眼中，面包应有重量1000g，上下浮动50g，用数学语言来表达就是：面包的重量服从期望为1000g，标准差为50g的正态分布。作为一个严谨的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重，前9天的记录数据（单位g）如下：

981   972   966   992  1010  1008   954   952   969

这组数据的期望（平均数）为x=978.2，尽管期望小于1000g，但也有50g的浮动，从感觉上尽管有些不爽但也难说有问题，不过对于身为数学家的庞加莱有8成的把握认定面包师在制作过程中偷工减料。但此时证据难说确凿，庞加莱决定按兵不动，继续记录了16天，累计25个数据如下：

25天的记录数据的平均数为978.7g，略有增加，但此时庞加莱有95%的把握认定面包师在制作过程中偷工减料。

庞加莱果断举报给质检部门，当质检员到来时，面包师百般抵赖，声称自己做的面包就是以1000g为基准做的，最多有上下50g的误差，从庞加莱提供的数据中，全部符合他描述的规律，一时间质检工作人员也无可奈何。但这位面包师可能还不认识他的对手，一位精通假设检验的数学家，下面是庞加莱的证词：

第一点.如果面包师的说法的正确的，则每个面包的质量X服从以1000g为期望，50g为方差的正态分布

 

这点倒是没什么问题，好像25个面包的每一个都服从这个规律。但是25个面包的平均值也服从正态分布，这就是重要的第二点。

第二点.25个面包的平均数也服从正态分布，期望依然是1000，不过方差却改变了，计算公式如下：

 

也就是说25个面包的平均重量服从以下正态分布：

 

面包师和质检人员表示没听懂，这能说明什么？庞加莱给出了通俗的解释：一个面包的重量波动的会大一点，多个面包的平均重量的波动范围就会小很多。就想你投掷骰子，投掷1次可能的点数是1到6中的任意一个，但是如果你投掷100次骰子，这100次总数的平均值基本就是3.5这个常数，不信您可以试试。面包师和质检员基本理解了这个道理，继续听庞加莱的第三点说明。

第三点.既然25个面包总重量的均值服从期望为1000g，方差为10g的正态分布，我们先看看正态分布数据的分布特点，如图：

 

 

从上图中可以看出，95.44%的数据落入以期望1000g为中心，2倍方差为浮动（即20g）的范围里，即[980,1020]。换句话说，如果面包师严格按照1000g为基准，50g为浮动制作面包，那么25个面包质量的平均值，将有95.44%的可能性落入[980,1020]这个范围里，相反低于980g或者高于1020g的概率还不到5%，所以面包师一定故意偷工减料了。

听过了庞加莱对假设检验的科普，质检员对面包师做了处罚，面包师也承认自己确实是以980g为基准做的面包，并同意做出改正。

这就是一个数学家认真买面包的真实故事，不过这仅仅是个开始，庞加莱和面包师的博弈还将继续，且看下回。