题目描述：

dota游戏里面，召唤师可以控制冰雷火三种元素，并通过元素组合产生新的技能。现在我们修改了张新的地图，地图中他能够控制n种元素，并且将m个元素围成一个圈组成一个新技能(这m个元素通过旋转或反转，算作重复，如123、231、312、 321、213、 132都算重复)，那么召唤师能组合多少技能(20000>=n>=1 ,1<=m<=10000)，由于结果可能很大，请将结果对000000007取余

正解传送门：

【Polay定理总结】【2019华为笔试】【普通涂色问题组合数学】召唤师的技能——圆排列，翻转和项链排列

召唤师·卡尔（Polya定理）

下面的别看 = =

分析:
根据题意，这是个圆排列去除圆的翻转排列
我先解释下圆排列：
例子1：
[1]参考网址：例子来自知乎
圆排列的定义为：有一组元素，将其排成一个圆，这种排列叫做圆排列或项链排列。

有五个小朋友，手拉手排成一个圆做游戏，求不同的排法数？

一般有两个思路：

假如五个小朋友手牵手变成圆排列，任意两个相邻的小朋友手松开就变成了一个直排列，即，任意一种圆排列对应五个不同的直线排列。五个小朋友站成一排有5！种方法，则手拉手有5!/5=4!种方法。
假如五个小朋友手牵手变成圆排列，五人按顺序移动一个位置其实是一种圆排列。所以固定其中一人，剩下四人任意排，有4！种方法。

一般地，有m个元素作圆排列，其计算公式为(m-1)!

例子2：
有5对夫妇和A、B共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张12个座位的圆桌就餐，要求每对夫妻都相邻坐，A、B不相邻，甲、乙太太是闺蜜又要相邻坐，如果旋转之后相同算一种坐法，一共有多少种安排方法？

思路：
固定甲、乙太太两个人，有2种方法：甲乙或乙甲；甲、乙先生位置就定下来
剩下三对夫妻捆绑3！每对可以左右互换小排列2^3
A、B在四个空里插空，A(4,2)
综上：2x3!x2^3xA(4,2)=1152

比如： 123 的圆排列有：1 2 3 、3 1 2、2 3 1相同，
又有翻转排列有：321 的圆排列有：3 2 1、1 3 2、2 1 3。
123的翻转排列等价于123的圆排列，所以，123 的翻转圆排列数目为1.
本来只算圆排列，有1 2 3 、3 2 1两种，现在只有2/2=1种

从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相同。
n个不同元素的m-圆排列个数N为：
特别地，当m=n时，n个不同元素作成的圆排列总数N为：

故这里根据题意，圆排列的翻转排列必然不含在其圆排列中。故

翻转圆排列=圆排列数/2

注意到这里，每次都一定要选出m个元素来进行排列。
所以这里先对选出的元素，比如说x个不同的元素(出现一次)，y个相同的元素（出现多次）进行圆排列，
我们知道x+y=n，且m=y*(元素重复次数)+x
根据上面的公式：

N=(n-1)!

思考：

由于地图中他能够控制n种元素，并且将m个元素围成一个圈组成一个新技能(这m个元素通过旋转或反转，算作重复，如123、231、312、 321、213、 132都算重复)
所以这里需要先从n个元素选出m个，也就是 $C_m^n=\frac{A_m^n}{n!}=\frac{m!}{n!(m-n)!}$ 然后乘上 $(m - 1)!$

根据公式写代码即可。
$种数=\frac{m!(m-1)!}{n!(m-n)!}$

拓展

当圆排列里含有重复元素怎么办：

原文：https://www.cnblogs.com/guhejian/p/5882845.html

有关圆排列问题——m个相同的元素和n个不同的元素的圆排列解法。
根据圆排列规则，先将 $n + m$ 个元素进行线排列有 $\frac{（m+n)！}{(m!)}$ 种；又每 $m + n$ 种线排列对应1种圆排列；
所以圆排列的种数为 $（ m + n - 1 ）！ / (m!)$ 种；
注意:
圆排列中，经旋转可以重合的视为一种；