概率论 —— 相关分布以及期望方差的求法汇总

article/2025/8/27 16:40:41

离散型

1. 两点分布（伯努利分布）
在一次试验中，事bai件A出现的概du率为P，事件A不出现的概率为q=l -p，若以X记一次试zhi验中A出现的次数，则X仅取0、I两个值。

两点分布是试验次数为1的伯努利试验。

2. 二项分布
是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变。

二项分布是试验次数为n次的伯努利试验。

EX=np,DX=np(1-p)

3. 超几何分布
在这里插入图片描述一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品数
记作X-H(N.M.n),其E(X)=nM/N

DX=E(X-EX)²
=E(X²)-2E(X)E(X)+E²(X)
=E(X²)-E²(X)
在这里插入图片描述

4. 泊松分布

在这里插入图片描述泊松过程是一个计数过程。
在0-t时与0-t+s时事件发生的次数独立且同服从参数为lamada的泊松分布。
这样按照时间走下来事件发生的次数就是一个泊松过程。

P(λ) E(X)=λ D(X)=λ

连续型

1. 均匀分布

在这里插入图片描述
在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U（a，b）。

均匀分布的概率密度函数为：
在这里插入图片描述

2. 指数分布

在这里插入图片描述
在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。

(1)指数分布的概率密度函数
在这里插入图片描述
(2)指数分布的分布函数

E(X)=1/λ D(X)=1/λ²

3. 正态分布
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的
正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

正态分布具有两个参数μ和σ^2 的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N（μ,σ2）。

μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小。正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。正态分布的期望、均数、中位数、众数相同，均等于μ。

σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。

正态曲线下，横轴区间（μ-σ,μ+σ）内的面积为68.268949%。
P{|X-μ|<σ}=2Φ（1）-1=0.6826
横轴区间（μ-2.58σ,μ+2.58σ）内的面积为95.449974%。
P{|X-μ|<2σ}=2Φ（2）-1=0.9544
横轴区间（μ-3σ,μ+3σ）内的面积为99.730020%。
P{|X-μ|<3σ}=2Φ（3）-1=0.9974

由于“小概率事件”和假设检验的基本思想 “小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。由此可见X落在（μ-3σ,μ+3σ）以外的概率小于千分之三，在实际问题中常认为相应的事件是不会发生的，基本上可以把区间（μ-3σ,μ+3σ）看作是随机变量X实际可能的取值区间，这称之为正态分布的“3σ”原则。

在这里插入图片描述
4. 标准正态分布
当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

注意点：

1. 二项分布和超几何分布的区别与联系

超几何分布和二项分布的相同点为：随机变量均是取连续非负整数值的离散型分布列．
超几何分布和二项分布最明显的区别有两点：
①超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取，也就是说二项分布中每个事件之间是相互独立的，而超几何分布不是；
②超几何分布需要知道总体的容量，也就是总体个数有限；而二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”．

超几何分布和二项分布二者之间也有联系：当总体很大时，超几何分布近似于二项分布，或者说超几何分布的极限就是二项分布。

2. 二项分布与泊松分布的区别与联系
当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。

3. 泊松分布与指数分布的关系
1、分布方面：
泊松分布参数bai是单位时间（或单位面du积）随机事件发生的zhi平均次数。泊松分dao布适用于描述单位时间内的随机事件数。指数分布可以用来表示独立随机事件的时间间隔，如旅客进入机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等。

2、应用方面：
指数分布被广泛使用。在日本工业标准和美国军用标准中，半导体器件的采样方案采用指数分布。此外，还用指数分布描述了大型复杂系统（如计算机）平均故障间隔时间的平均无故障时间分布。

泊松分布适用于描述每单位时间（或空间）的随机事件数。例如，某一时间到达服务设施的人数、电话交换所接到的呼叫数、公共汽车站等候的客人数、机器故障数、自然灾害数、产品缺陷数。在显微镜下分布在单位面积的细菌等。

3、然泊松分布和指数分布都有一个指数，兰姆达。但是这是两个概念。
泊松分布，期望值是朗姆达，意思就是强度。比如一段时间的人流量的强度。
指数分布，期望值的朗姆达的倒数。意思就是失效率。失效率是工作到某时刻尚未失效的产品。