一、直观理解

梯度方向与等高线的切线方向垂直

假设一函数为：$f(x,y)=x^2+y^2$，该函数的梯度为$[2x,2y]$;
选择其中一条等高线：$c=x^2+y^2$ ($c$为常数), 该等高线在任意一点的斜率为$\frac{-x}{\sqrt{c-x^2}}$，则切线方向为$[x,-\frac{c-y^2}{y}]$;
可以验证$[2x,2y]\cdot [x,-\frac{c-y^2}{y}{]}^T=0$，故得等高线的切线方向与梯度方向垂直。

二、方向导数

梯度是函数上升的方向，且在该方向上的方向导数最大

多元函数$f(x,y)$的方向导数代表了函数在$(x,y)$点上，$\vec{l}$ 方向的瞬时变化率。
设函数$f(x,y)$ 在点$(x,y)$的某一邻域$U_0$内有定义，自点$(x,y)$引射线$l$，自$x$轴的正向到射线$l$的转角为$\alpha$，则$f(x,y)$在点$(x,y)$沿方向$l$的方向导数为：$$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \cos \alpha +\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \sin \alpha$$
我们知道梯度为：$grad=[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}]$，所以方向导数可写为：$$\frac{\partial f}{\partial l}=grad\cdot \vec{l}=|grad||\vec{l}|\cos \theta$$
$\theta$为梯度方向和$l$方向的夹角，由上式可知，当夹角为$0$时，即梯度方向，方向导数最大，函数上升最快；当夹角为$180$时，梯度的反方向，方向导数为负，最小，函数下降地最快，这就是梯度下降法的本质。

三、从泰勒级数展开来看

对函数$f(x,y)$进行一阶泰勒展开：
$$f(x+{\delta }_1,y+{\delta }_2)\approx f(x_0,y_0)+\nabla f(x_0,y_0)\cdot ({\delta }_1,{\delta }_2{)}^T$$
$$f(x+{\delta }_1,y+{\delta }_2)-f(x_0,y_0)\approx \nabla f(x_0,y_0)\cdot ({\delta }_1,{\delta }_2{)}^T$$
由上可知，当$({\delta }_1,{\delta }_2)$与梯度方向一致时，函数增长速度最快。

四、牛顿法

在函数的某一点$(x_0,y_0)$处用二次函数进行逼近，即二阶泰勒展开，如：
$$f(x_0+{\delta }_1,y+{\delta }_2)\approx f(x_0,y_0)+f^{\prime }(x_0,y_0)\cdot ({\delta }_1,{\delta }_2{)}^T+\frac{f^{\prime \prime }(x_0,y_0)}{2}\cdot ({\delta }_1,{\delta }_2{)}^T$$
找到二次函数最小值点：$$(x_1,y_1)=(x_0,y_0)-\frac{f^{\prime }(x_0,y_0)}{f^{\prime \prime }(x_0,y_0)}$$
然后，在$(x_1,y_1)$处二阶泰勒展开，找到$(x_2,y_2)$，…，直到收敛。

五、梯度下降与牛顿法的区别

梯度下降：梯度下降是用一次函数来对目标函数进行逼近，需要设置学习率，学习率过小收敛速度慢，过大容易造成震荡不收敛；
牛顿法：牛顿法是用二次函数对目标函数的逼近，但是需要计算目标函数的二次偏导数，当参数较多时，计算和存储的开销都比较大。当目标函数非凸时，容易收敛到鞍点等其他极值为0的点。

参考：
[1]: https://baike.baidu.com/item/方向导数/8923917?fr=aladdin
[2]: https://www.jianshu.com/p/af3492b5e49c