fisheye_calibration

小孔成像模型（理想相机成像模型）

请参考下面的文章
理想相机成像模型

fisheye model 相机模型

fisheye model opencv 里使用的鱼眼成像模型。

1. 等距投射模型
   
   P点射过来的光线，按照这个模型会成像到上图P’点。但是实际上由于畸变，他不是成像到P’点，而是这一点附近。可以用P’点的多项式展开来近似。

2. 鱼眼成像模型为什么会增大视场角？
   几种模型的视场角

3. 从Z 轴俯视看成像模型如下，可看出rd 和rc的关系，以及xd,yd 与rc 的关系。
   

4. 由小孔成像影射几何以及上面的等距模型可以把fisheye model 抽象成下面的模型。从上到下依次是公式1-公式7.
   

5. 理想相机模型VS鱼眼相机模型
   

内参校正的原理

输入：一堆世界坐标系下的3D 坐标点，和相应的这些棋盘坐标点经过相机成像之后的2D像素坐标点。
输出：内参(9个)($f_x,f_y,c_x，c_y，k_0,k_1,k_2,k_3,\alpha$), 外参(6 个)($rvec,tvec$)

• 问题域描述：

• 已知：$u_i,v_i\Leftarrow \Rightarrow X_i,Y_i,Z_i$, $i=[1\cdots N]$ 共N组数据对，

• 求：求解内参和外参，内参($f_x,f_y,c_x，c_y，k_0,k_1,k_2,k_3$), 外参($rvec,tvec$)

• 求解方法：这类问题如何求解请参考另一篇博文。
  可以认为自变量是待求的参数(15个)，因变量是$u,v$, 导数是$u,v$分别对15 个参数的偏导$\frac{\partial u}{\partial f_x}$,$\frac{\partial u}{\partial f_y}$,$\frac{\partial u}{\partial c_x}\cdots$。

calibration过程

对这个过程简单分析

1. 第一步初始化内参(finalParam.init())， 不需要过多分析。初始化的值对最终的结果影响很小， 我尝试修改初始化的内参，对最终的结果影响很小。
2. 第二步，计算外参（CalibrateExtrinsics()）
3. 第三步，优化内参加外参(Optimization)。
4. CalibrateExtrinsics() 函数会循环对每一张输入的图片做一次InitExtrinsics() 和ComputeExtrinsicRefine(), 这里的ComputeExtrinsicRefine() 只会根据当前图像的棋盘点（比如8X5=40个点)对外参进行refine. 这一步对外参的估算是在固定的初始化内参的情况下进行的。内参不变。
5. Optimization，是针对所有图像的所有点进行的优化，同时对内参和外参都进行了优化。优化的方法使用的是牛顿-- 拉夫逊方法 (Newton-Raphson method)
6. 具体每个函数的详细分析， 请参专门对每个函数分析的文章。

• InitExtrinsics函数分析
• 协方差矩阵的 几何意义
• ComputeHomography函数分析
• ComputeExtrinsicRefine函数分析
• projectPoints函数分析
• Optimization分析

参考文章

1. 鱼眼成像几种模型
2. 理想相机成像模型
3. 几种模型的视场角