SNS社交网络在近几年流行起来，并呈现出火爆的增长趋势。在仿制国外Facebook、twitter等成功先例的基础上，国内的人人网、新浪微博等一系列社交网络正风生水起。
这些社交网站表面上看起来十分普通和其他网站别无二致，但我们可以研究它们背后更深层次的数学原理，从而更有利于推广营销。在后面的分析中，我会分别举例，大家就会明白实际中的应用价值。
我们需要考虑的是怎样度量一个网络。网络其实就是一张图，图中有各个节点，节点连接起来，形成边。在社交网络中，每个人就是一个节点，人们通过好友关系相互连接。节点是有权重的，就像人具有影响力一样。
给你一张网络拓扑图，你怎样挖掘这张图所蕴含的信息呢？你怎样知道图中哪一个节点是最重要的？事实上有很多方法，我们自己也可以定义度量的标准。经常用到的有Degree Centrality，Eigenvector Centrality，Katz Centrality，PageRank，Closeness Centrality，Betweenness Centrality，Transitivity……它们从简单到复杂，从偏重某个属性到综合考虑，很多都在现实中合理地使用着，例如PageRank就是Google使用的网页排名方法。
1. Degree Centrality（节点度）
这是对网络最为简单直白的一种度量：仅仅统计每个节点有多少边。它的现实意义在于有更多边的节点具有更大的连接性，就像有更多好友的人具有更大的影响力。例如对一个产品做推广营销，我们发放免费的试用样品给消费者，如果消费者满意他们就会购买，并且推荐给自己的朋友也去购买。这就是口碑影响力。作为厂家，我们当然希望将样品发放给更具影响力的人，因为他们的一句赞美会传递到更多的节点上，为我们带来更多的潜在客户。我们知道，图分为有向图和无向图，他们的区别在于节点之间的联系是否是双向的。例如Facebook或者人人网中的好友关系，就是一个无向图，你是我的好友那么我也是你的好友；而twitter或者新浪微博则是一个有向图，因为我“关注”（follow）某些人，又有另外一些人“关注”我，这是一个从一个节点指向另一个节点的关系，不具有可逆性。我们在讨论Degree Centrality时，对于有向图来说，其实有in-degree centrality和out-degree centrality两种。例如在微博上很多人关注了李开复，也就是说有很多节点指向他，那么李开复就具有很高的in-degree centrality. 但是要小心，in-degree高的节点不一定是最有价值的，例如在论文参考文献引用中，一篇文章的in-degree很高表示很多人引用了这篇论文。这篇文章可能提出了一个有价值的研究问题，但是却犯了明显的错误，于是大家在写这个研究方向的论文时都会说：“快去围观这篇文章，作者太SB了，哈哈哈哈……”
我们希望通过Degree Centrality来找出最有影响力的节点们。问题来了，想要获得具有Degree Centrality最高的前10个节点，我们需要知道整张图的结构才行。从数学上讲，即需要得到图的邻接矩阵A，对于A中的每一行统计有多少个1，最后进行排序取前k个即可得到Degree Centrality值最高的前k个节点。这在实际中并不可行，你并不是Facebook的所有者或者人人网的管理员，你怎么知道整个社会网络里谁的好友更多？
2. Eigenvector Centrality（特征向量）
这是对Degree Centrality的一种改进版。我们希望得到节点重要性的估值，但什么是重要性？什么是影响力？在Degree Centrality中，所有的邻居节点都是平等的。而在实际情况中，不同的邻居节点可能会有不同的价值。例如我有10个好友，他们都是普通人，而如果有一个人他也有10个好友，但是他的好友都是李嘉诚巴菲特奥巴马们，显然，我比不上他，自惭形秽了。
为此我们建立另一种模型：给邻居节点打分，高分的邻居会给予我更多积极的影响，使得我的得分也升高。设xi(t)为节点i在t时刻的centrality评估值（得分），centrality值越高说明这个节点越重要。则
（1）
或者表示为矩阵形式
（2）
其中A为图的邻接矩阵。不知道邻接矩阵？回去复习线性代数离散数学和数据结构吧……
公式（1）比较好理解。基本思想其实就是说，节点j为节点i的邻居节点（我所说的邻居意思就是他们有边相连），在t-1时刻，我们对j叠加求和，意思就是统计节点i的所有邻居节点的centrality值，然后累加，就是t时刻节点i的centrality值。这个公式对所有节点有效，如果我的邻居们的centrality值改变了，我的值也会改变，所以这是一个不断迭代的过程，直到最后所有节点的值在一个阈值内进行可忽略的波动，即收敛。
第二个公式x(0)是0时刻初始化时所有节点的centrality值，它是一个数组。而
不断迭代就可以得到公式（2）了。
于是x(0)可以看作是A的特征向量Vi的线性组合，我们可以选取合适的ci使得等式
（3）
成立。
结合（2）（3）两个式子，我们得到
（4）
其中ki为矩阵A的特征值，k1为特征值中的最大值。
当k>1时，
（5）
这就是eigenvector centrality。我们如果得到图A的邻接矩阵的特征向量，那么这个向量x就是所有节点的eigenvector centrality值。我们只需解方程（5）即可。它的一个明显的属性就是，xi即节点i的eigenvector centrality，与该节点所有邻居的eigenvector centrality之和成正比。即
（6）
所以，这正解决了我们之前的问题，它将我们邻居的重要性施加到我们自己身上。有几种情况会使得xi的值很大，一是节点有很多邻居，二是它有一个重要邻居（该邻居拥有高eigenvector centrality值），或者以上两种情况同时存在。
同样的问题在这里也存在，那就是我们必须知道图的邻接矩阵，也就是整个网络的拓扑结构。如果网络中有100万个节点，我们生成一个100万×100万的矩阵也是困难的。另外，还有可能出现下面的情况
这是一个有向图，注意节点A，它没有in-degree，也就是说没有其他节点可以影响到它的centrality值。假如A的centrality值是0，那么它对它的3个邻居的贡献也为0，其中最上面的那个邻居只有A对它施加影响，于是它的centrality值也为0，最后我们一步步地推断，会发现整个图所有节点的centrality值都是0，也就是说图的邻接矩阵A=0.这不是我们预想的那样，因为如果我们希望对网页做PageRank，这将导致所有页面的PageRank值都一样，没法做排名了。
上边提到两种网络模型，都有着这样那样的缺陷。下面我们继续来改善建模。
3. Katz Centrality
Katz Centrality解决了之前的问题。它的原理与eigenvector centrality差不多，只是我们给每一个节点提供一个初始化的centrality值β，即对式（6）做简单改变：
（7）
α 和 β 都是正常数。
使用矩阵表达式，我们得到：
（8）
（9）
我们只关心centrality值的相对性，也就是说不管你的centrality值是10还是100，我们只关注你的centrality值是不是大于我的centrality值，因为我们希望找到centrality值最大的前10个节点，目的是做排名。于是β可以设置为1，于是Katz Centrality表达为：
（10）
事实上α和β的比值体现了对邻居节点centrality值的侧重，如果α=0那么所有的节点的centrality值都是β=1了，完全不受邻居的影响了。所以说这个公式更具有普遍性，这就是数学之美。
需要注意的是α不可以太大，当 
，于是 
无法收敛。所以有 
.
要计算Katz centrality，就要做逆矩阵运算 ，直接计算的复杂度为O(n3)。我们可以用迭代法
（11）
4. PageRank
Katz centrality的一个缺陷就是，一个拥有高centrality值的节点会将它的高影响力传递给它的所有邻居，这在实际生活中可能并不恰当。比如说Google的网页有很高的centrality值，同时Google也链接了海量的页面。如果Google的网页链接到了我的网页，那我的网页作为一个无名小卒centrality值岂不是有可能比Google还高？我们希望Katz centrality能够由节点的out-degree稀释，或者说我的centrality值能平均分给我的邻居，而不是给每个邻居都得到我的整个centrality值。用数学语言表达为
（12）
对比公式（7）就很容易理解这里对Katz centrality做的修改了。
对于没有外链的节点（例如很多链接指向了一张图片，但图片是没有out-degree指向别处的），将其 
值设为1.我们将式（12）写为矩阵形式：
（13）
其中D是对角矩阵， 
.同样设β=1，上式可以变形为
（14）
这就是著名的PageRank算法。
同样，α的取值也是有范围的，它应该小于AD-1最大的特征值的倒数。对于无向图来说，这个值是1，对于有向图来说就不一定了。Google的搜索引擎将α设为0.85。同样，要执行这个算法，我们需要知道整个图的拓扑结构。
5. HITS算法
与PageRank算法类似，HITS也是在网络建模和权重排名中比较经典的算法。
有的时候我们希望把高centrality值赋予那些链接了很多重要节点的节点，例如综述性的学术论文引用了该研究领域内的大量重要论文，于是这篇综述也被认为很有价值。因为即使这篇论文没有为该科研领域做出什么突破，但它总结了已有成果，告诉大家去哪里找做出了突出贡献的论文。
于是我们拥有两种节点：authorities（权威型）的节点包含了具有贡献的原创信息，hubs（枢纽型）节点总结了很多信息，指向了很多authorities节点。Kleinberg是康奈尔大学一位十分牛B的年轻教授（70后年轻有为啊！），他提出了hyperlink-induced topic search (HITS)算法来量化计算authority centrality和hubs centrality。
在HITS中对于某个节点i，xi用来表示authority centrality，yi用来表示hubs centrality。每个节点既有authority属性又有hubs属性。节点若有高xi值则该节点被很多其他hub节点关注，如论文被大量引用、微博有很多粉丝。节点若有高yi值则该节点指向了很多其他authority节点，例如一篇综述论文，又例如hao123.com这样的网址导航站点（理解百度为什么要收购hao123了吧）。
用数学语言描述如下：
（15）
或者矩阵表达式
（16）
合并演化得到
（17）
这意味着authority centrality为AAT的特征向量，而hubs centrality为ATA的特征向量。有趣的是AAT和ATA拥有相同的特征值λ，大家可以自行证明。
继续演化，我们对式（17）左乘一个AT，得到 
，也就是说
（18）
我们知道了x，也就可以计算得到y。
6. 社交网络建模工具（Python）
最近比较忙，如果没有需求，这个系列可能就不会再继续写下去了。下面用一个python程序来演示社交网络的建模分析，以实际应用作为结束吧。
假设有这样两个文本文件sigcomm_author.txt和sigcomm_network.txt，文件内容如下：
sigcomm_network.txt:
1,2 (ID_1 与 ID_2 有合作发表论文)
3,4 (ID_3 与 ID_4 有合作发表论文)
4, 216 (ID_4 与ID_216 有合作发表论文)
…sigcomm_author.txt:
1: Amer El Abbadi (ID_1: name)
2: Thomas Lui (ID_2: name)
…
这是一个学术圈的社交网络，描述了发表论文的作者之间的一些合作关系。它一个无向图，也就是说[ID_1, ID_2] 等同于 [ID_2, ID_1]。通过编写程序，我们可以挖掘如下信息：
- n: 节点数量（有多少个作者）
- m: 边的数量（有多少个论文合作关系）
- 网络中连接部的大小（节点互相连接形成网络连接部，另外还可能有孤立的一些节点）
- clustering coefficient群聚系数
- 网络直径（两两节点间会有一条最短路径，在所有的节点对中，最长的最短路径有多长）
- 节点度分布
- 最短路径长度分布
- degree centrality
- eigenvector centrality
NetworkX是一个用Python语言开发的图论与复杂网络建模工具，内置了常用的图与复杂网络分析算法，包括我已经介绍过的degree centrality，eigenvector centrality等等。使用NetworkX可以方便的进行复杂网络数据分析、仿真建模等工作。
一般Linux都默认自带Python运行环境，Ubuntu下只需要执行以下命令即可获得NetworkX库进行程序开发。
sudo apt-get install python-setuptools sudo easy_install networkx
Windows下则需要手动安装，具体可以参考这个安装步骤。环境都搭建好了之后就可以对社交网络之间的关系进行分析了，查看这个入门指南。
回到上文提出的例子，在调用NetworkX提供的接口的基础上，我们可以挖掘论文作者之间的关系，分析整个网络的一些属性。示例源代码和测试数据下载。
-------------------------小结：优化后的PAGERANK算法，可以利用测算网页中相互连接的重要性来判断网页重要等级的模型，来延伸到计算社交网络中意见领袖的寻找中，当然，也可以通过这种方法推算内容型站点，如轻博客中人们对内容交互后的“内容重要等级/内容喜爱程度”，对于游戏而言，如果能够发现游戏社交中的核心领袖，甚至能够反推出交互过程中行为的重要程度，那么就可以帮助运营做出及时决策改进，这也是一个很好的方向。
