目标：加深理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法，了解定积分近似计算的矩形法、梯形法与抛物线法，会用MATLAB语言编写求定积分近似值的程序，会用MALAB中的命令求定积分。
预备知识
在许多实际问题中，常常需要计算定积分的值。根据微分学基本定理，若被积函数f(x)在区间[a,b]上连续，只需要找到被积函数的一个原函数F(x)，就可以用牛顿-莱布尼茨公式求出定积分值。但在工程技术与科学实验中，有些定积分的被积函数的原函数可能求不出来，即使可求出，计算也可能相当复杂。特别地，当被积函数是图形或表格时，更不能用牛顿-莱布尼茨公式计算。因此必须寻求定积分的近似计算方法。大多数实际问题的积分需要用数值积分方法求出近似结果。数值积分原则上可以用于计算各种被积函数的定积分，无论被积函数是解析形式还是数表形式，其基本原理都是用多项式函数近似代替被积函数，用对多项式的积分结果近似代替对被积函数的积分。由于所选多项式的不同，可以有许多种数值积分方法，下面介绍最常用的几种差值型数值积分方法。
1、矩形法
定积分的几何意义是计算曲边梯形的面积，如果将区间[a,b]n等分，每个小区间上都是一个小的曲边梯形，用一个个小矩形代替这些小曲边梯形，然后把所有小矩形的面积加起来就近似等于整个曲边梯形的面积，于是便求出了定积分的近似值，这就是矩形法的基本原理。
2、梯形法
将积分区间[a,b]n等分，用线段依次连接各分点，每段都形成一个小的直角梯形。如果用这些小直角梯形面积之和代替原来的小曲边梯形面积之和，就可求得定积分的近似值。
3、抛物线法
同梯形法，分成以抛物线为曲边的小曲边梯形。
4、相关的MATLAB命令
命令：sum(a)，求数组a的和
例1 调用命令sum求矩阵x的各列元素的累加和。
>> x=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
>> sum(x)
ans =
12 15 18
命令：format long，长格式，即屏幕显示15位有效数字。
命令：double()，若输入的是字符则转化为相应的ASCII码；若输入的是整数值则转化为相应的实型数值。
命令：quad()，抛物线法求数值积分。
格式：quad(fun,a,b),注意此处的fun是函数，并且为数值形式，所以使用*、/、^等运算时要加上小数点。
其中，quadl(fun,a,b,…)为用高精度进行计算，在同样的精度下高阶方法quadl要求的节点较少，效率可能比quad更高。
例2
>> Q=quad('1./(x.^3-2*x-5)',0,2)
Q =
-0.4605
>> F=inline('1./(x.^3-2*x-5)');
>> S1=quad(F,0,2)
S1 =
-0.4605
命令：trapz()，梯形法求数值积分。
格式：trapz(x,y)。
其中x为带有步长的积分区间，y为数值形式的运算(相当于上面介绍的函数fun)。
例3
>> x=-1:0.1:1;
>> y=1./(1+25*x.^2);
>> T=trapz(x,y)
T =
0.5492
&1 trapz函数
trapz其实就是Trapezoidal（梯形的简写）。使用方法如下：
I=trapz(x,y)
其中x和y分别是自变量和对应的值，例如我们有函数y=x^3-2x-3，为了计算在[0,1]上的积分，可以这么做：
>> format compact
>> x=0:0.05:1;
>> y=x.^3-2.*x-3;
>> I=trapz(x,y)
I =
-3.7494
我们知道这个函数是可以直接使用经典积分理论计算的，精确值为 -15/4=-3.75，误差为0.016%
可积函数用这个并没有太大的意义，但是对于复杂的函数，使用起来就有用的多了。
&2 cumtrapz函数
cumtrapz函数和trapz函数使用方法类似，但是返回的结果不一样。
前面的cum是cumulation的意思，也就是累积，相当于是不断地从第一个值累积到当前的结果。
还是以上面的函数为例：
>> x=0:0.1:1;
>> y=x.^3-2.*x-3;
>> Z=cumtrapz(x,y)
Z =
0 -0.3100 -0.6395 -0.9878 -1.3532 -1.7337 -2.1267 -2.5287 -2.9360 -3.3440 -3.7475
这几个都是积分结果，下限都是x(0)，也就是0，上限分别是0，0.1，0.2，一直到1.0
例4 计算。
>> x=0:pi/100:pi;
>> y=sin(x);
>> trapz(x,y)
ans =
1.9998
注：梯形法是步长越小精度越高。
命令:dblquad()，抛物线法求二重数值积分。
格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax),fun可以用inline定义，也可以通过某个函数文件的句柄传递。
例5
>> Q1=dblquad(inline('y*sin(x)'),pi,2*pi,0,pi)
Q1 =
-9.8696
>> Q2=dblquad(inline('y*sin(x)'),0,pi,pi,2*pi)
Q2 =
29.6088
>> Q3=dblquad(@integrnd,pi,2*pi,0,pi)
Q3 =
-9.8696
编写M文件：
% integrnd.m
function z=integrnd(x,y)
z=y*sin(x);
命令：fprintf(文件地址，格式，写入的变量)，把数据写入指定文件。
例6
>> x=0:.1:1;
>> y=[x;exp(x)];
>> % 打开文件
>> fid=fopen('vexp.txt','w');
>> % 写入
>> fprintf(fid,'%6.2f%12.8f\n',y);
>> % 关闭文件
>> fclose(fid);
命令：int(f,v,a,b)，求f关于v积分，积分区间有[a,b]。
命令：subs(f,’x’,a)，将a赋值给符号表达式f中的x，并计算出值。
计算实验：计算定积分近似值
1、矩形法计算定积分近似值
取f(x)=exp(x)，求定积分int(exp(x),0,1)的近似值。
>> % 积分区间为[0,1]，等距划分为20个子区间。
>> x=linspace(0,1,21);
>> % 选取每个子区间的端点并计算端点处函数值
>> % 取区间的左端点处得函数值乘以区间长度全部加起来。
>> y1=y(1:20);
>> s1=sum(y1)/20
s1 =
1.6757
若选取右端点：
>> y2=y(2:21);
>> s2=sum(y2)/20
s2 =
1.7616
2、编程用矩形法计算定积分的近似值
根据，编写如下M文件：
f=input('请输入被积函数f(x)=');
qujian=input('区间[a,b]=');
n=input('请输入子区间个数n=');
s=0;
for i=1:n
x=qujian(1)+(qujian(2)-qujian(1))/n*i;
y=eval(f);
s=s+y;
end
disp('定积分的近似值是：');
s=s*(qujian(2)-qujian(1))/n
存为juxingfa.m。运行结果为：
>> juxingfa
请输入被积函数f(x)='x^2'
区间[a,b]=[0,1]
请输入子区间个数n=10
定积分的近似值是：
s =
0.3850
>> juxingfa
请输入被积函数f(x)='x^2'
区间[a,b]=[0,1]
请输入子区间个数n=1000
定积分的近似值是：
s =
0.3338
注：可见子区间个数较少时精度不够高。
3、编程用梯形法计算定积分的近似值
根据公式，编写如下M文件：
f=input('请输入被积函数f(x)=');
qujian=input('区间[a,b]=');
n=input('请输入子区间个数n=');
s=0;
for i=1:n
x=qujian(1)+(qujian(2)-qujian(1))/n*i;
y=eval(f);
s=s+y;
end
x=qujian(1);
y=eval(f);
s=s+y/2;
x=qujian(2);
y=eval(f);
s=s+y/2;
disp('定积分的近似值是：');
s=s*(qujian(2)-qujian(1))/n
存为tixingfa.m，运行结果如下：
请输入被积函数f(x)='x^2'
区间[a,b]=[0 1]
请输入子区间个数n=10
定积分的近似值是：
s =
0.4350
4、导数、单调性与极值
导数是分析充分光滑的函数f(x)的单调性和极值点的有效方法。函数在x0点达到局部极大（或局部极小）的充分条件是f’(x0)=0且f’’(x0)<0(或f’’(x0)>0)。
命令：fminbnd或fminsearch，求极小值
>> [x,f]=fminsearch(inline(fun),0.5)
