matlab定积分的近似计算.ppt

MATLAB数学建模与仿真 定积分的近似计算 2 定积分计算的基本公式是牛顿 莱布尼兹公式 但当被积函数的原函数不知道时 如何计算 这时就需要利用近似计算 特别是在许多实际应用中 被积函数甚至没有解析表达式 而是一条实验记录曲线 或一组离散的采样值 此时只能用近似方法计算定积分 本实验主要研究定积分的三种近似计算算法 矩形法 梯形法和抛物线法 同时介绍Matlab计算定积分的相关函数 问题背景和实验目的 定积分的近似计算 1 极限和连续数列极限 0 N 0 使当n N时有 xn a 则函数极限 如果当x x0时有f x A 则 连续 如果当x x0时 有f x f x0 则称f x 在x0连续 闭区间上连续函数必有最大值和最小值 预备知识 微积分 2 微分与导数函数f x 在点x x0的导数为若f x 在x0可导则在x0可微 dy Adx 当f x0 0 函数在x0点附近是上升的 当f x0 0 则f x 在x0点达到局部极大 或局部极小 当n 0得 微分中值定理f x f x0 f x x0 其中 是x0与x之间某个值 Taylor公式 当f x 在含有x0某个开区间内具有直到n 1阶的导数 3 多元函数微分学 设f x y 在点 x0 y0 附近有定义 当 x y 以任何方式趋向于 x0 y0 时 f x y 趋向于一个确定的常数A 则 若A f x0 y0 称f x y 在 x0 y0 点连续 f x y 在点 x0 y0 的偏导数分别定义为 4 积分函数f x 在区间 a b 上的积分定义为 其中a x0 x1 xn b xi xi xi 1 i xi 1 xi i 1 2 n 若在 a b 上 F x f x 则 二重积分定义为 8 矩形法梯形法抛物线法 数值积分的常见算法 主要内容 Matlab求积分函数 数值积分函数 trapz quad dblquad符号积分函数 int 9 矩形法 矩形法 10 矩形法 n充分大 x充分小 左点法 右点法 中点法 点可以任意选取 常见的取法有 左端点 右端点和中点 定积分的近似 11 步长 节点 矩形法 fuluA m 12 矩形法举例 例 用不同的矩形法计算下面的定积分 取n 100 并比较这三种方法的相对误差 13 理论值 左点法相对误差 相对误差分析 矩形法举例 右点法相对误差 中点法相对误差 不同的算法有不同的计算精度 有没有更好的近似计算定积分的方法 14 定积分几何意义 15 曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似 整个曲边梯形的面积 梯形法 16 如果我们n等分区间 a b 即令 则 梯形公式 梯形法 梯形公式与中点公式有什么区别 fuluB m 17 解 例 用梯形法计算下面定积分 取n 100 并计算相对误差 梯形法举例 a 0 b 1 n 100 f x 1 1 x2 相对误差 18 2n等分区间 a b 得 用抛物线代替该直线 计算精度是否会更好 计算每个节点上的函数值 抛物线法 在区间 x0 x2 上 用过以下三点 的抛物线来近似原函数f x 19 设过以上三点的抛物线方程为 则在区间 x0 x2 上 有 y x2 x p1 x 抛物线法 20 同理可得 相加即得 抛物线法 21 整理后可得 或 辛卜生 Simpson 公式 抛物线法公式 抛物线法 fuluC m 22 例 用抛物线法计算下面定积分 取n 100 并计算相对误差 解 a 0 b 1 n 100 yi f xi 1 1 xi2 抛物线法 相对误差 23 矩形法梯形法抛物线法 数值积分的常见算法 Matlab函数 Matlab求积分函数 数值积分函数 trapz quad dblquad符号积分函数 int 24 矩形法 总结 Matlab数值积分函数 trapz quad dblquad 梯形法 抛物线法 25 trapz x y x为分割点 节点 组成的向量 y为被积函数在节点上的函数值组成的向量 trapz trapz 26 前面的做法 例 用梯形法计算下面定积分 取n 100 解 a 0 b 1 n 100 yi f xi 1 1 xi2 x 0 1 100 1 y 1 1 x 2 trapz x y trapz函数 trapz x 1 1 x 2 trapz举例 27 quad f a b tol f f x 为被积函数 a b 为积分区间 tol为计算精度 将自变量看成是向量 不用自己分割积分区间可以指定计算精度 若不指定 缺省精度是10 6精度越高 函数运行的时间越长此处的函数f是数值形式 应该使用数组运算 即 quad quad 28 解 quad 1 1 x 2 0 1 quad 1 1 x 2 0 1 1e 10 quad 1 1 x 2 0 1 1e 16 函数表达式一定要用单引号括起来 涉及的运算一定要用数组运算 例 用quad计算定积分 quad举例 29 抛物线法计算二重积分 dblquad dblquad f a b c d tol tol为计算精度 若不指定 则缺省精度为10 6f可以是 字符串 inline定义的内联函数 函数句柄 a b 是第一积分变量的积分区间 c d 是第二积分变量的积分区间 按字母顺序 大写字母排在小写字母的前面 dblquad 30 f inline 4 x y 3 y 2 I dblquad f 1 1 0 2 f中关于第一自变量的运算是数组运算 即把x看成是向量 y看成是标量 也可以全部采用数组运算 例 计算二重积分 dblquad inline 4 x y 3 x 2 1 1 0 2 dblquad inline 4 x y 3 x 2 1 1 0 2 X 例 计算二重积分 dblquad举例 31 例 计算二重积分 dblquad x y 4 x y 3 x 2 1 1 0 2 指定x y分别是第一和第二积分变量 dblquad inline 4 x y 3 x 2 1 1 0 2 被积函数f x y 的另一种定义方法 匿名函数 dblquad举例 32 int f a b 计算f关于默认自变量的定积分 积分区间为 a b int f 计算f关于默认自变量的不定积分 int f v a b 计算函数f关于自变量v的定积分 积分区间为 a b int f v 计算函数f关于自变量v的不定积分 findsym f 1 int 符号积分 int 33 例 用int函数计算定积分 解 symsx f 1 1 x 2 int f x 0 1 f sym 1 1 x 2 int f x 0 1 int 1 1 x 2 x 0 1 或 int 1 1 x 2 0 1 或 或 int举例 34 double a 将a转化为双精度型 若a是字符 则取对应的ASCII码 a 3 double a double a 例 ans 3 ans 97 相关函数 35 x 1 0 001 2 y exp x 2 trapz x y 梯形法 抛物线法 quad exp x 2 1 2 10e 10 符号积分法 symsx int exp x 2 x 1 2 例 用Matlab函数近似计算定积分 数值实验 36 抛物线法 dblquad inline x y 2 0 2 1 1 符号积分法 f int x y 2 y 1 1 int f x 0 2 数值实验 例 用Matlab函数近似计算二重积分 1 导数 单调性与极值当f x0 0 函数在x0点附近是上升的 f x0 0 考虑函数f x x2cos x2 3x 4 在 2 2 内的图象特征 建模实验 奶油蛋糕 2奶油蛋糕 某数学家的学生要送一个特大的蛋糕来庆贺他90岁生日 为了纪念他提出的口腔医学的悬链线模型 学生们要求蛋糕店老板将蛋糕边缘半径作成下列悬链线函数r 2 exp 2h exp 2h 5 0 h 1 单位 米 问如何计算重量 解设高为H 半径r 比重为k若蛋糕是单层圆盘的 则蛋糕的重量为 W k Hr2 若蛋糕是双层的 每层高H 2 下层半径r1 上层半径r2 则W k H r12 r22 2如果蛋糕是n层的 每层高H n 半径分别r1 rn 则 若蛋糕边缘是曲线r r h 0 h H 各层半径近似为ri r i 1 2 H n i 1 n 那么当n 3一半径为5m的球形水罐充满了水 底部有一半径为b 0 1m的小孔漏水 问多少时间以后 水面下降至离底部0 5m 解水从孔漏出的速度由下列能量方程决定g z R u2 2 u是速度 z表示从球心测量的水面高度 g为重力加速度 考虑在时间dt内水面变化dz 漏水的体积为uAdt x2dz其中x为高度z水面的半径 A b2由于R2 z2 x2得dt 在顶部z R水降到0 5m时 z 0 5 R 从而t 5m 0 5m 0 43 上机作业 1 分别用梯形法与抛物线法 计算 取n 120 并常识直接使用函数trapz quad 进行计算求解 比较结果的差异 2 试计算定积分 注意 可以运用trapz quad