拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）

 之前在高中就有一直听到拉格朗日，拉格朗日是一个很牛逼哄哄的大佬。在学习SVM的时候，居然也见到了他的身影。让我们了解一下拉格朗日乘子法的具体内容。

 在学习过程中，有时会遇到一些最优化问题。这里提到的最优化问题通常是指对于给定的某一函数，求其在指定作用域上的全局最小值（无论最大最小值都可以转化为最小值），二者均是求解最优化问题的方法不同之处在于应用的情形不同。

 一般情况下，最优化问题会碰到下面三种：

• 无约束条件
• 等式约束条件
• 不等式约束条件

什么是拉格朗日乘子法？

 基本的拉格朗日乘子法就是求函数$f(x_1,x_2,...)$在约束条件$g(x_1,x_2,...)$=0下的极值的方法。其主要思想是将约束条件函数与原函数联立，从而求出使原函数取得极值的各个变量的解。拉格朗日乘子法是在支持向量机为了更好的求解间距的方法。

 在求解最优问题中，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）和KKT（Karush Kuhn Tucker）条件是两种最常用的方法，在有等式约束时使用拉格朗日乘子法，在有不等式约束的时候使用KTT条件。

1. 无约束条件

例子：
$$minf(x)$$
这是最简单的情况，解决方法是函数对变量求导，令求导函数等于0的点可能是极值点。将结果带回原函数进行验证。

2. 等式约束条件

 设目标函数为f(x)，约束条件为hk(x)，形如:s.t. 表示subject to ，“受限于”的意思，l表示有l个约束条件。
$$minf(x)$$
$$s.t.h_k(x)=0k=1,2,...,l$$
则解决方法是消元法或者拉格朗日法。这里主要讲拉格朗日法，后面提到的KKT条件是对拉格朗日乘子法的一种泛化
 例如给定椭球：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$
求这个椭球的内接长方体的最大体积。

我们将这个转化为条件极值问题，即在条件
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$下，求$f(x,y,z)=8xyz$的最大值。

当然这个问题实际可以先根据条件消去 z (消元法)，然后带入转化为无条件极值问题来处理。但是有时候这样做很困难，甚至是做不到的，这时候就需要用拉格朗日乘数法了。 首先定义拉格朗日函数F(x)：
$$F(x,\lambda )=f(x)+\sum _{k-1}^l{\lambda }_k{h}_k(x)$$（其中$\lambda k$是各个约束条件的待定系数。）
然后解变量的偏导方程：
$$\frac{\partial F}{\partial x_i}=0...\frac{\partial F}{\partial {\lambda }_k}$$
 如果有l个约束条件，就应该有l+1个方程。求出的方程组的解就可能是最优化值（高等数学中提到的极值），将结果带回原方程验证就可得到解。

回到上面的题目，通过拉格朗日乘数法将问题转化为：
$$F(x,y,z,\lambda )=f(x,y,z)+\lambda \psi (x,y,z)=8xyz+\lambda (\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1)$$
对$F(x,y,z,\lambda )$求偏导得：

联立前面三个方程得到$bx=ay$ 和$az=cx$,带入第四个方程解之

带入解最大体积为：

3. 不等式约束条件

设目标函数f(x)，不等式约束为g(x)，有的教程还会添加上等式约束条件h(x)。此时的约束优化问题描述如下：
$$minf(x)$$
$$s.t.h_j(X)=0j=1,2,...,p$$
$$g_k(X)\le 0k=1,2,...,q$$
则我们定义不等式约束下的拉格朗日函数L，则L表达式为:
$$L(X,\lambda ,\mu )=f(X)+\sum _{j=1}^p{\lambda }_j{h}_j(X)+\sum _{k=1}^p{\mu }_k{g}_k(X)$$
 其中f(x)是原目标函数，hj(x)是第j个等式约束条件，λj是对应的约束系数，gk是不等式约束，uk是对应的约束系数。
 常用的方法是KKT条件，同样地，把所有的不等式约束、等式约束和目标函数全部写为一个式子L(a, b, x)= f(x) + ag(x)+bh(x)

KKT条件是说最优值必须满足以下条件：

1. L(a, b, x)对x求导为零；
2. h(x) =0;
3. a*g(x) = 0;
   求取这些等式之后就能得到候选最优值
   该方法适用于约束条件下求极值的问题。对于没有约束的极值问题，显然，如果某一点是极值的必要条件是该点的各方向的偏导数皆为零，也就是说，如果偏导数不全为零，那么就不可能是极值。