考研数据结构汇总

article/2025/11/6 7:32:23

仅供参考！！！

必背知识点

数据结构 是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合

数据结构的三要素：

逻辑结构，存储结构，数据的运算（定义（逻辑结构的，运算的功能）和实现（物理结构的，运算的具体操作步骤））

逻辑结构：数据元素之间的逻辑关系，与数据的存储无关，独立于计算机，线性结构和非线性结构

存储结构：数据结构在计算机中的表示

顺序存储：逻辑上相邻，物理上也相邻

链式存储：逻辑上相邻，物理上可以不相邻

索引表：在存储信息时，还需要建立附加的索引表

哈希表：根据关键字，直接计算出该元素的存储地址。

算法：对特定问题求解步骤的一种描述

基本特性：有确可叔叔

有穷性：算法在有穷步之后结束，并且每一步都在有穷时间内完成

确定性：算法中每条指令都是有确定含义的，对于同一输入，有同一输出

可行性：算法中描述的操作可以根据现有实现的基本运算执行有限次后完成

输入：一个或多个输入

输出：一个或多个输出，这些输出和输入有着某种关系

好的算法：正可健效

正确性：算法能正确的求解问题

可读性：算法应该有良好的可读性

健壮性：输入非法数据是，可以对这些错误操作进行处理

效率和低存储需求：执行时间和所需最大空间内存

时间复杂度：一个算法所需花费的时间，和问题规模n有关

空间复杂度：一个算法在运行过程中临时占用存储空间的大小

线性表：由n个相同数据类型的数据元素的构成的有序序列，逻辑关系，表示一对一的相邻关系

相关操作：求表长，定位元素位置下标，初始化表，表得插入，表得删除，输出表，判断表是否为空

顺序表：线性表的顺序存储，他是用一组地址连续的存储单元依次存储线性表中的数据元素，从而使得在逻辑上相邻，物理上也相邻。支持随机访问，存储密度高，创建数组成功后不可再次更改数组大小，插入和删除需要移动大量数组元素。

单链表：线性表的链式存储，一组任意的存储单元来存储线性表中的数据元素。插入和删除的效率较高，没有元素个数的限制，不支持随机存储

双链表：两个指针域，，一个指针域指向其前驱，一个指向其后继节点

循环链表：尾结点指向其头结点

栈只允许在一段进行插入和删除的线性表，进行插入和删除的一端称栈顶，不进行插入和删除的一段称为栈底。后进先出

栈的基本操作包含：入栈，出栈，判断栈是否为空，是否已满，栈的初始化等

栈的实现：

顺序栈：顺序表的实现，存在溢出的风险，链栈：使用链表实现，不存在溢出的情况

队列是限制操作的线性表，只能在一段删除，一端插入，先进先出

基本操作：入队，出队，判断队满，对空，初始化等

队列的实现：

循环队列：使用顺序表实现，利用取模的方式，从逻辑上看是一个环形

链队：使用链表实现，用两个指针标记队列的头部和尾部，优点是不会存在队列慢的情况

判断队满：牺牲一个元素空间，利用一个标记位

数组由n个相同数据类型的数据元素构成的有序序列，是线性表的推广，一维数组可以看做线性表，二维数组可以将其元素看成定长线性表，下标的取值范围称为维界。

广义表：由0个或者多个，元素或子表组成的有序序列，线性表的推广

两个基本操作：

取表头：广义表中的第一个元素

取表尾：取出广义表中除第一个元素以外的其他元素

串是由零个或多个字符组成的有限序列

串的实现：

顺序存储：用一组连续的存储空间依次存储串中的元素，删除和插入需要移动大量的元素

链式存储：用一组非连续的存储空间存储串中的元素，不需要移动大量元素

串的基本操作：串的复制，求串长，求子串，串联接，串的销毁

哈希表：根据关键码值而直接进行访问的数据结构

树

树是n个结点的有限集，它或为空树; 或为非空树，对于非空树T:
(1)有且仅有一个称之为根的结点；
(2)除根结点以外的其余结点可分为 m个互不相交的有限集 Ti , T2 , …，几，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树

性质

树中一个结点的孩子个数称为该结点的度。

  1. 树中结点n的个数：n = n0+n1+n2+…+1

在这里插入图片描述

二叉树

是n个结点所构成的集合，它或为空树(n= 0); 或为非空树，
对于非空树T:
(1) 有且仅有一个称之为根的结点；
(2)除根结点以外的其余结点分为两个互不相交的子集T1和T2, 分别称为T的左子树和右子树且T1和T2本身又都是二叉树

满二叉树：深度为 K 且含有 2^k-1个结点的二叉树

完全二叉树：深度为K的， 有n个结点的二叉树， 当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时， 称之为完全二叉树

由先序，中序和后序，中序遍历可以得到唯一一个二叉树

二叉树的遍历：按照某条搜索路径访问树中每个节点，使得每个节点都被访问依次且仅被访问一次

二叉排序树：根节点的左边元素均小于根节点，右边均大于根节点，其左右孩子也满足这一条件

性质

  1. 对任何一棵二叉树T, 如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2,则n0 = n2+1

  2. 非空二叉树上第K层至多有2^(k-1)个结点

  3. 高度/深度为h的二叉树至多有2^h-1 个结点，至少2^(h-1)个结点

  4. 在这里插入图片描述

  5. 具有 n 个结点的完全二叉树的深度/高度在这里插入图片描述

  6. n个结点的二叉树采用链式存储，其中空指针为 n+1

平衡二叉树的插入

为了避免树的高度增长过快，影响二叉排序树的性能，在二叉树进行插入和删除时，需要确保左子树的高度减去右子树的高度只差小于等于一

LL：结点A左孩子的左结点上插入结点。todo：右旋，A左孩子的右子树为A的左孩子

在这里插入图片描述

RR：结点A右孩子的右结点上插入结点。todo：左旋，A右孩子的左孩子为A的右孩子

在这里插入图片描述

LR：结点A左孩子的右孩子上插入结点。todo：先左旋转后右旋转，插入点为C，C的左孩子为B，右孩子为A。C的左孩子放到调整后结点的左边下，右孩子放到右边。

在这里插入图片描述

RL：结点A右孩子的左孩子上插入结点。todo：先右旋后左旋，插入点为C，C的左孩子为A，右孩子为B。C的左孩子放到调整后结点的左边下，右孩子放到右边。

在这里插入图片描述

哈夫曼树

带路径长度最小的二叉树即为哈夫曼树

带权路径长度：从树的根到任意结点的经过边数与该结点上权值的乘积。

树中所有结点的带权路径长度之和称为该树的带权路径长度WPL。

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

哈夫曼树中不存在度为1的结点

n个叶子结点的哈夫曼树总结点数2n-1

图

图 G由两个集合V和E组成，记为G=(V,E),其中V是顶点的有穷非空集合，E是V中顶点偶对的有穷集合，这些顶点偶对称为边。V(G)和E(G)通常分别表示图G的顶点集合和边集合，E(G)可以为空集。若E(G)为空，则图G只有顶点而没有边。
对于图G,若边集E( G)为有向边的集合,则称该图为有向图;

若边集E( G)为无向边的集合，则称该图为无向图。

完全图：全图中任意两个顶点之间都存在边 ，共n(n-1)/2条边

n个顶点的有向完全图有n(n-1)条边

搜索性能分析

邻接表：o（v+e）

邻接矩阵：o(v^2)

关键路径

源点到汇点的最长路径

关键活动：边上的权值增加，将导致关键路径变化的活动

最早发生时间：v1-vk的最长路径长度

最迟发生时间：总时间-（vk-vj的路径长度）

最早开始时间：最早发生时间

最晚开始时间：总时间 -（vk-vj的路径长度） - vk完成所需时间

最短路径：带权路径长度最短的那条路径

拓扑序列：由 一个有向无环图的顶点组成的序列

满足：

​ 一个顶点只出现一次

​ 顶点a在顶点b之前，则不存在由顶点b到顶点a的边

算法步骤：

​ 选择一个没有前驱的顶点输出

​ 删除改顶点和所有以它为起点的有向边

​ 重复上述过程直至当前网中不存在无前驱的顶点为止

排序

名称方式存储空间时间稳定性
直接插入将数组分为三部分，已排序区，待排序元素，待排序区，每一次将待排元素和已排序区的元素进行比较，待排元素放到数组0的位置，如果大于之前的元素位置为i，已排序区整体后移一位，将待排元素插入，以此往复比较n-1次顺序链式1n2稳定
折半插入再插入排序的基础上，增加了查找的效率，其他点不变顺序1n2稳定
希尔排序缩小增量排序，增量分组，每一个分组都是插入排序，每一次的增量为上一次增量的一半，一趟就是增量的比较次数顺序––不稳定
冒泡排序将i个元素和i-1个元素进行比较，如果发现i-1个元素大于第i个元素，则交换二者位置，每一趟排序都有一个元素再最终位置上。顺序链式1n2稳定
快速排序根据一个枢纽，从后往前找出小于枢纽的值，放到low处，从前往后找出第一个大于枢纽的值，将第high处，以此往返直至low==high，将枢纽值放到low处，完成一趟排序顺序lognnlog2n不稳定
选择排序将数组分为已排序区和待排序区，每一趟都是从n-i+1个元素中选择一个最小的元素和当前第i个元素进行互换，一趟确定一个最终位置顺序链式1n2不稳定
归并排序将两个或两个以上的有序表组合成一个新的有序表顺序nnlog2n稳定
堆排序从小根堆或者大根堆中选择根节点然后和末尾元素互换位置，将末尾位置输出，最好对树继续调整链式1nlog2n不稳定

数据压缩

  1. 对称矩阵：存放数组大小n(n+1)/2
    1. 下三角(含主对角线)：i(i-1)/2+j-1
    2. 上三角：j(j-1)/2+i-1
  2. 稀疏矩阵：三元组

ASL

顺序表

成功：n+1/2

失败：n

二叉树

成功：（每层结点数*高度）之和/总结点数

失败：（空余结点数*空结点父节点高度）之和/总结点数+1

散列表

成功：探测次数之和/数据总数

失败：比较次数（后续结点为空比较失败）之和/数据总数+1

线索二叉树

若无左子树，则将左指针指向其前驱结点;
若无右子树，则将右指针指向其后继结点。

贪心算法：只寻求局部最优解，不从整体出发，得到的最终结果可能不是最优解，从上往下，一步一步得到结果
动态规划：将一个大问题分为若干个子问题，这些子问题可能重复，为防止记录重复，可以将它们记录下来，从下往上，且前一个子问题对后一个子问题必然产生影响，最终一步一步地到最优解。
分治法：将一个大问题分成若干个子问题，使用递归求解，子问题之前相互独立，子问题最终的解的合集就为最优解。

查找：在数据集合中，找出满足某种条件的数据元s素的过程。

查找表：用于查找数据的集合

关键字：数据元素中唯一标识该数据项的值

平均查找长度：一次查找需要比较关键字的次数

顺序表

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>typedef struct
{int *arr;int max, len;
} Sqlist;void InitList(Sqlist *list)
{int x, i;printf("input max:");scanf("%d", &x);list->arr = (int *)malloc(sizeof(int) * x);list->len = 0;list->max = x;
}
int Length(Sqlist list)
{return list.len;
}
int LocateElem(Sqlist list, int e)
{int res = -1;for (int i = 0; i < list.len; i++){if (e == list.arr[i]){res = i + 1;break;}}return res;
}
int GetElem(Sqlist list, int i)
{return list.arr[i - 15];
}
bool ListInsert(Sqlist *list, int i, int e)
{if (i < 1 || i > list->len + 1 || list->len == list->max){return false;}for (int j = list->len; j >= i; j--){list->arr[j] = list->arr[j - 1];}list->arr[i - 1] = e;list->len++;return true;
}
bool ListDelete(Sqlist *list, int i, int *e)
{if (i < 1 || i > list->len){return false;}e = &list->arr[i - 1];for (int j = i; j < list->len; j++){list->arr[j - 1] = list->arr[j];}list->len--;return true;
}
void PrintList(Sqlist list)
{for (int i = 0; i < list.len; i++){printf("%d ", list.arr[i]);}putchar('\n');
}
bool Empty(Sqlist list)
{if (list.len == 0){return true;}return false;
}
void DestoryList(Sqlist *list)
{free(list->arr);list->arr = NULL;list->len = 0;list->max = 0;
}
void main()
{Sqlist list;int x;InitList(&list);for (int i = 0; i < 4; i++){list.arr[i] = i;}list.len = 4;PrintList(list);printf("pos:%d\n", LocateElem(list, 1));printf("ele:%d\n", GetElem(list, 2));printf("len:%d\n", Length(list));ListInsert(&list, 2, 333);PrintList(list);ListDelete(&list, 1, &x);PrintList(list);DestoryList(&list);
}

链表

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>typedef struct LNode
{int Data;struct LNode *next;
} LNode, *linkList;linkList HeadInsert(linkList list)
{int x, i;LNode *s;printf("input len:");scanf("%d", &x);list = (LNode *)malloc(sizeof(LNode));list->next = NULL;for (i = 0; i < x; i++){s = (LNode *)malloc(sizeof(LNode));s->Data = i + 1;s->next = list->next;list->next = s;}return list;
}linkList tailInsert(linkList list)
{int x, i;LNode *s, *h;printf("input len:");scanf("%d", &x);h = list = (LNode *)malloc(sizeof(LNode));for (i = 0; i < x; i++){s = (LNode *)malloc(sizeof(LNode));s->Data = i + 1;s->next = NULL;list->next = s;list = s;}return h;
}
LNode *Getelem(linkList list, int i)
{LNode *s;int j = 1;list = list->next;while (list && i > 0){if (i == j){break;}j++;list = list->next;}return list;
}
LNode *LocateElem(linkList list, int e)
{LNode *s = list->next;while (s){if (e == s->Data){break;}s = s->next;}return s;
}
void printNode(linkList list)
{list = list->next;while (list){printf("%d ", list->Data);list = list->next;}putchar('\n');
}
void InsertNode(linkList list, int i, int e)
{LNode *s, *p = Getelem(list, i - 1);s->next = p->next;p->next = s;s->Data = e;
}
void deleteNode(linkList list, int i)
{LNode *s, *p, *f;p = Getelem(list, i - 1);f = p->next;p->next = f->next;free(f);
}
int len(linkList list)
{int i = 0;list = list->next;while (list){i++;list = list->next;}return i;
}void main()
{LNode *p, *s;p = HeadInsert(p);printNode(p);s = tailInsert(s);printNode(s);deleteNode(s, 2);printNode(s);// InsertNode(p, 1, 4);// printNode(p);printf("%d ", len(s));
}

顺序栈

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>#define maxsize 10typedef struct
{int top;int list[maxsize];
} stack;stack *initStack()
{stack *s = (stack *)malloc(sizeof(stack));s->top = -1;for (int i = 0; i < maxsize; i++){s->list[i] = 0;}return s;
}bool enStack(stack *s, int e)
{if ((s->top + 1) == maxsize){return false;}s->list[++(s->top)] = e;printf("e:%d\n", s->list[s->top]);return true;
}
bool popStack(stack *s, int *x)
{if (s->top - 1 == -2){return false;}*x = s->list[s->top--];printf("x:%d\n", *x);return true;
}
bool empty(stack *s)
{if (s->top == -1){return true;}return false;
}void main()
{stack *s;int x;s = initStack();enStack(s, 1);enStack(s, 2);popStack(s, &x);popStack(s, &x);if (empty(s)){printf("true");}
}

链栈(带头结点)

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>typedef struct node
{int data;struct node *next;
} stack;stack *initStack()
{stack *s = (stack *)malloc(sizeof(stack));s->next = NULL;return s;
}bool enStack(stack *s, int e)
{stack *node = (stack *)malloc(sizeof(stack));node->data = e;node->next = s->next;s->next = node;return true;
}
bool popStack(stack *s, int *x)
{stack *p = s->next;s->next = p->next;printf("%d\n", p->data);free(p);return true;
}
bool empty(stack *s)
{if (s->next == NULL){return true;}return false;
}void main()
{stack *s;int x;s = initStack();enStack(s, 1);enStack(s, 2);popStack(s, &x);popStack(s, &x);if (empty(s)){printf("true");}
}

队列

#include <stdio.h>//顺序队
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>#define maxsize 10typedef struct
{int data[maxsize];int front, rear;
} Squeue;Squeue *initQueue()
{Squeue *s = (Squeue *)malloc(sizeof(Squeue));s->front = s->rear = 0;return s;
}
bool empty(Squeue *s)
{if (s->front == s->rear){return true;}return false;
}bool enQueue(Squeue *s, int e)
{if (s->front == (s->rear + 1) % maxsize){return false;}s->data[s->rear] = e;printf("%d ", s->data[s->rear]);s->rear = (s->rear + 1) % maxsize;return true;
}
bool popQueue(Squeue *s)
{if (empty(s)){return false;}printf("%d ", s->data[s->front]);s->front = (s->front + 1) % maxsize;return true;
}void main()
{Squeue *s;int x;s = initQueue();for (int i = 0; i < maxsize - 2; i++){enQueue(s, i);}putchar('\n');if (enQueue(s, 122)){printf("true");}
}

链队

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>#define maxsize 10typedef struct Node
{int data;struct Node *next;
} Node;typedef struct
{Node *front, *rear;
} Squeue;Squeue *initQueue(Squeue *s)
{s->front = s->rear = (Node *)malloc(sizeof(Node)); //头结点s->front->next = NULL;return s;
}
bool empty(Squeue *s)
{if (s->front == s->rear){return true;}return false;
}void enQueue(Squeue *s, int e)
{Node *q = (Node *)malloc(sizeof(Node));q->data = e;q->next = NULL;s->rear->next = q;s->rear = q;
}
bool popQueue(Squeue *s, int *x)
{if (empty(s)){return false;}Node *q = s->front->next;*x = q->data;s->front->next = q->next;if (q == s->rear){s->rear = s->front;}free(q);return true;
}void main()
{Squeue *s;int x;s = initQueue(s);for (int i = 0; i < maxsize; i++){enQueue(s, i);}putchar('\n');popQueue(s, &x);printf("%d ", x);popQueue(s, &x);printf("%d ", x);popQueue(s, &x);printf("%d ", x);
}

括号配对

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>#define maxsize 10
typedef struct
{char data[maxsize];int top;
} stack;
stack *InitStack(stack *s)
{s = (stack *)malloc(sizeof(stack));s->top = -1;return s;
}
bool stackEmpty(stack *s)
{if (s->top == -1){return true;}return false;
}
bool Push(stack *s, char e)
{if (s->top + 1 == maxsize){return false;}s->data[++(s->top)] = e;return true;
}
bool Pop(stack *s, char *e)
{if (stackEmpty(s)){return false;}*e = s->data[s->top--];return true;
}
bool brecketCheck(char str[], int len)
{stack *s;char tmp;s = InitStack(s);if (len % 2 != 0){return false;}for (int i = 0; i < len; i++){if (str[i] == '(' || str[i] == '{' || str[i] == '['){Push(s, str[i]);}else{if (stackEmpty(s)){return false;}Pop(s, &tmp);printf("%c : %c \n", tmp, str[i]);if ((str[i] == '}' && tmp != '{') || (str[i] == ']' && tmp != '[') || (str[i] == ')' && tmp != '(')){return false;}}}return stackEmpty(s);
}
void main()
{char data[maxsize];data[0] = '(';data[1] = '{';data[2] = '[';data[3] = ']';data[4] = '}';data[5] = ']';if (brecketCheck(data, 6)){printf("true");}else{printf("false");};
}

http://chatgpt.dhexx.cn/article/IocxmRDx.shtml

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聚合支付平台排名

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随着时代的发展&#xff0c;聚合支付对于商家来说越来越重要&#xff0c;虽说有刷脸支付的噱头&#xff0c;但是聚合支付在支付史上的地位越来越重要。再加上银联、支付宝、微信官方这两年在聚合支付上的发力&#xff0c;和国家层面对聚合支付的政策扶持&#xff0c;聚合支付已…
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聚合支付排名前十的平台有哪些？

聚合支付排名前十的平台有哪些？

很多行业都有自己的排名&#xff0c;在某种程度上&#xff0c;排名的位置&#xff0c;决定着企业能力的强弱&#xff0c;越是排名靠前的企业&#xff0c;越是彰显着不菲的能力。 所以&#xff0c;很多时候&#xff0c;我们想寻找某个行业里优秀的企业&#xff0c;看一下排名数…
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第三方支付平台排行！

第三方支付平台排行！

第三方支付平台排行&#xff01; 2023年第三方支付十大品牌 口碑投票榜 人气品牌榜 2023年榜单规则依据:第三方支付十大品牌榜数据由CNPP品牌榜中榜大数据 研究院和CN10排排榜技术|研究院通过资料收集整理&#xff0c;并基于大数据统计及人为根据市场和参数条件变化的分析研究…
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海外本地支付—Payssion

海外本地支付—Payssion

Payssion&#xff08;全球本地支付&#xff09;&#xff1a;成立于2013年1月15日&#xff0c;致力于为客户提供一站式全球在线支付解决方案。通过Payssion一个API可以快速接入全球300多种本地支付&#xff0c;覆盖欧洲、拉美、中东、东南亚等全球200多个国家/地区。 1、提供什么…
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PHP 对接paypal支付平台

PHP 对接paypal支付平台

对接paypal支付平台 【前言】:最近公司需要做一款海外股票的app,其中有需要购买会员权益的一个模块&#xff0c;这里需要国际类型的支付。支付宝及微信在国内比较活跃&#xff0c;国外的话可能不太理想&#xff0c;所以就用了paypal. 准备工作 1.首先在paypal平台创建账号&…
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国内平台使用国外支付的可行性？

国内平台使用国外支付的可行性？

国内平台使用国外支付的情况&#xff1f; 产品做数据互通&#xff0c;H5与二维码海报作为入口。 个人中心&#xff0c;App下载做老用户入口转化。 用境外自动转化费率的支付&#xff0c;有朋友用过&#xff1f; 风控如何&#xff1f; 比如一些拼单项目&#xff0c;并不违规&…
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跨境支付与业务流程介绍

跨境支付与业务流程介绍

跨境支付业务 跨境支付与人民币跨境支付的不同通俗的来讲&#xff0c;跨境支付就是中国消费者在网上购买国外商家产品或国外消费者购买中国商家产品时&#xff0c;由于币种的不一样&#xff0c;就需要通过一定的结算工具和支付系统实现两个国家或地区之间的资金转换&#xff0…
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