1、损失函数的意义
机器学习中的监督学习本质上是给定一系列训练样本 ，尝试学习 的映射关系，使得给定一个 ，即便这个 不在训练样本中，也能够得到尽量接近真实 的输出 。而损失函数（Loss Function）则是这个过程中关键的一个组成部分，用来衡量模型的输出 与真实的 之间的差距，给模型的优化指明方向。

2、回归问题的损失函数
2.1 均方差损失
均方差 Mean Squared Error (MSE) 损失是机器学习、深度学习回归任务中最常用的一种损失函数，也称为 L2 Loss。

从直觉上理解均方差损失，这个损失函数的最小值为 0（当预测等于真实值时），最大值为无穷大。下图是对于真实值  ，不同的预测值  的均方差损失的变化图。横轴是不同的预测值，纵轴是均方差损失，可以看到随着预测与真实值绝对误差  的增加，均方差损失呈二次方地增加。

在模型输出与真实值的误差服从高斯分布的假设下，最小化均方差损失函数与极大似然估计本质上是一致的，因此在这个假设能被满足的场景中（比如回归），均方差损失是一个很好的损失函数选择；当这个假设没能被满足的场景中（比如分类），均方差损失不是一个好的选择 。

2.2 平方绝对误差损失
这个损失函数进行可视化如下图，MAE 损失的最小值为 0（当预测等于真实值时），最大值为无穷大。可以看到随着预测与真实值绝对误差  的增加，MAE 损失呈线性增长.

MSE 假设了误差服从高斯分布，MAE 假设了误差服从拉普拉斯分布。拉普拉斯分布本身对于 outlier 更加 robust。

2.3 Huber Loss （Smooth L1 Loss）
Huber Loss 则是一种将 MSE 与 MAE 结合起来，取两者优点的损失函数，也被称作 Smooth Mean Absolute Error Loss 。其原理很简单，就是在误差接近 0 时使用 MSE，误差较大时使用 MAE.

Huber Loss 结合了 MSE 和 MAE 损失，在误差接近 0 时使用 MSE，使损失函数可导并且梯度更加稳定；在误差较大时使用 MAE 可以降低 outlier 的影响，使训练对 outlier 更加健壮。缺点是需要额外地设置一个  超参数.

【不足】 Smooth L1 Loss在计算目标检测的 bbox loss时，都是独立的求出4个点的 loss，然后相加得到最终的 bbox loss。这种做法的默认4个点是相互独立的，与实际不符。举个例子，当(x, y)为右下角时，w h其实只能取0

2.4 分位数损失 
分位数回归 Quantile Regression 是一类在实际应用中非常有用的回归算法，通常的回归算法是拟合目标值的期望或者中位数，而分位数回归可以通过给定不同的分位点，拟合目标值的不同分位数。例如我们可以分别拟合出多个分位点，得到一个置信区间，如下图所示（图片来自笔者的一个分位数回归代码 demo Quantile Regression Demo）

下图是取不同的分位点 0.2、0.5、0.6 得到的三个不同的分位损失函数的可视化，可以看到 0.2 和 0.6 在高估和低估两种情况下损失是不同的，而 0.5 实际上就是 MAE。

2.5 IoU Loss 
【动机】 针对smooth L1没有考虑box四个坐标之间相关性的缺点，

【分析】 通过4个坐标点独立回归Building boxes的缺点：

检测评价的方式是使用IoU,而实际回归坐标框的时候是使用4个坐标点，如下图所示，是不等价的；L1或者L2 Loss相同的框，其IoU 不是唯一的；

通过4个点回归坐标框的方式是假设4个坐标点是相互独立的，没有考虑其相关性，实际4个坐标点具有一定的相关性；

基于L1和L2的距离的loss对于尺度不具有不变性；

实际使用中简化为：

【不足】

当预测框和目标框不相交，即 IoU(bbox1, bbox2)=0 时，不能反映两个框距离的远近，此时损失函数不可导，IoU Loss 无法优化两个框不相交的情况。

假设预测框和目标框的大小都确定，只要两个框的相交值是确定的，其 IoU 值是相同时，IoU 值不能反映两个框是如何相交的。EIoU Loss（2021）
论文地址：https://arxiv.org/pdf/2101.08158.pdf

【动机】 解决CIoU的定义中不足

【亮点】 引入了解决样本不平衡问题的Focal Loss思想

3  分类问题的损失函数 
3.1  交叉熵损失函数
上文介绍的几种损失函数都是适用于回归问题损失函数，对于分类问题，最常用的损失函数是交叉熵损失函数 Cross Entropy Loss。

下图是对二分类的交叉熵损失函数的可视化，蓝线是目标值为 0 时输出不同输出的损失，黄线是目标值为 1 时的损失。可以看到约接近目标值损失越小，随着误差变差，损失呈指数增长。

多分类
在多分类的任务中，交叉熵损失函数的推导思路和二分类是一样的，变化的地方是真实值  现在是一个 One-hot 向量，同时模型输出的压缩由原来的 Sigmoid 函数换成 Softmax 函数。Softmax 函数将每个维度的输出范围都限定在  之间，同时所有维度的输出和为 1，用于表示一个概率分布。

3.2 合页损失（Hinge Loss）
合页损失 Hinge Loss 是另外一种二分类损失函数，适用于 maximum-margin 的分类，支持向量机 Support Vector Machine (SVM) 模型的损失函数本质上就是 Hinge Loss + L2 正则化。

下图是  为正类， 即  时，不同输出的合页损失示意图