损失函数的定义

损失函数，又叫目标函数，是编译一个神经网络模型必须的两个要素之一。另一个必不可少的要素是优化器。

损失函数用来评价模型的预测值和真实值不一样的程度，损失函数越好，通常模型的性能越好。不同的模型用的损失函数一般也不一样。

损失函数分为经验风险损失函数和结构风险损失函数。经验风险损失函数指预测结果和实际结果的差别，结构风险损失函数是指经验风险损失函数加上正则项。

损失Loss必须是标量，因为向量无法比较大小（向量本身需要通过范数等标量来比较）。

损失函数一般分为4种：

HingeLoss 0-1 损失函数：感知机就是用的这种损失函数；
对数损失函数：逻辑回归的损失函数就是log对数损失函数；
MSE平方损失函数：线性回归的损失函数就是MSE；
Hinge 损失函数：SVM就是使用这个损失函数；
交叉熵损失函数：逻辑回归的损失函数，用sigmoid作为激活函数，常用于二分类和多分类问题中。

在这里插入图片描述

我们先定义两个二维数组，然后用不同的损失函数计算其损失值。

import torch
from torch.autograd import Variable
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F
y_pred = Variable(torch.ones(2,2))
a = torch.Tensor(2,2)
a[0,0]=0
a[0,1]=1
a[1,0]=2
a[1,1]=3
y = Variable (a)

y_pred 的值为：[[1,1],[1,1]]。
y 的值为：[[0,1],[2,3]]。

神经网络的学习为何要设定损失函数？

神经网络中的“学习”是指从训练数据中自动获取最优权重参数的过程。学习的目的就是以该损失函数为基准，找出能使它的值达到最小的权重参数。

常见的损失函数

1. 0-1损失函数(zero-one loss)

0-1损失是指预测值和目标值不相等为1，否则为0:
在这里插入图片描述
特点：

(1)0-1损失函数直接对应分类判断错误的个数，但是它是一个非凸函数，不太适用。

(2)感知机就是用的这种损失函数。但是相等这个条件太过严格，因此可以放宽条件，即满足
[公式]
时认为相等。

2. 对数损失函数

log对数损失函数的标准形式如下：
在这里插入图片描述
特点：

(1) log对数损失函数能非常好的表征概率分布，在很多场景尤其是多分类，如果需要知道结果属于每个类别的置信度，那它非常适合。
(2)健壮性不强，相比于hinge loss对噪声更敏感。
(3)逻辑回归的损失函数就是log对数损失函数。

3. 平方损失函数MSE(均值平方差）

数理统计中演化而来，均方误差是指参数估计值和参数真实值之差平方的期望值。在此处其主要是对每个预测值与真实值作差求平方的平均值，具体公式如下所示：
在这里插入图片描述
MSE越小代表模型越好，类似的算法还包括RMSE和MAD。
线性回归就是使用MSE作为损失函数。

方式1：Pytorch

criterion = nn.MSELoss()
loss = criterion(y_pred, y)
print(loss)

最后结果是：1.5。

方式2：tensorflow
tensorflow没有单独的MSE函数，不过可由开发者自己组合即可，如下所示：

# y为真实值，y_pred为预测值
1. MSE = tf.reduce_mean(tf.square(y - y_pred)))
2. RMSE = tf.sqrt(tf.reduce_mean(tf.square(y - y_pred)))
3. MAD =  tf.reduce_mean(tf.complex_abs(y - y_pred))

4. Hinge 损失函数

Hinge损失函数标准形式如下：
在这里插入图片描述
y为目标值，f(x)为预测值。

特点：

(1)hinge损失函数表示如果被分类正确，损失为0，否则损失就为 $1 - y f (x)$ 。SVM就是使用这个损失函数。
(2)一般的 $f (x)$ 是预测值，在-1到1之间， $y$ 是目标值(-1或1)。其含义是， $f (x)$ 的值在-1和+1之间就可以了，并不鼓励 $∣ f (x) ∣ > 1$ ，即并不鼓励分类器过度自信，让某个正确分类的样本距离分割线超过1并不会有任何奖励，从而使分类器可以更专注于整体的误差。
(3) 健壮性相对较高，对异常点、噪声不敏感，但它没太好的概率解释。

5. 交叉熵损失函数 (Cross-entropy loss function)

交叉熵(cross-entropy)刻画了两个概率分布之间的距离，更适合用在分类问题上，因为交叉熵表达预测输入样本属于某一类的概率。
交叉熵损失函数的标准形式如下:
在这里插入图片描述
注意公式中 $x$ 表示样本， $y$ 表示实际的标签， $a$ 表示预测的输出， $n$ 表示样本总数量。

也就相当于：
在这里插入图片描述
特点：

本质上也是一种对数似然函数，可用于二分类和多分类任务中。

二分类问题中的loss函数（输入数据是softmax或者sigmoid函数的输出）：
多分类问题中的loss函数（输入数据是softmax或者sigmoid函数的输出）：

当使用sigmoid作为激活函数的时候，常用交叉熵损失函数而不用均方误差损失函数，因为它可以完美解决平方损失函数权重更新过慢的问题，具有“误差大的时候，权重更新快；误差小的时候，权重更新慢”的良好性质。

Pytorch实现交叉熵函数：

def cross_entropy(Y, P):"""Cross-Entropy loss function.以向量化的方式实现交叉熵函数Y and P are lists of labels and estimationsreturns the float corresponding to their cross-entropy."""Y = np.float_(Y)P = np.float_(P)return -np.sum(Y * np.log(P) + (1 - Y) * np.log(1 - P)) / len(Y)

tensorflow具有多种常见的交叉熵函数：

#Sigmoid交叉熵
tf.nn.simoid_cross_entropy_with_logits(y_pred, y, name=None)
#softmax交叉熵
tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(y_pred, y, name=None)
#Sparse交叉熵
tf.nn.sparse_cross_entropy_with_logits(y_pred, y, name=None)
#加权Sigmoid交叉熵
tf.nn.weighter_cross_entropy_with_logits(y_pred, y, pos_weight,name=None)