1. Introduction

拟牛顿法可以理解为使用迭代的方法近似Hessian矩阵，但是拟牛顿法本质上其实是共轭方向法，所以用共轭方向法来理解拟牛顿法更加贴切。

本文的主要内容来自于《最优化导论》（《An introduction to optimization》）

2. 牛顿法

牛顿法在很多地方都有详细的说明，就不在这里赘述了。

2.1 不能保证收敛

一般的非线性函数，牛顿法不能保证从任意起始点都可以收敛到极小值点。结果可能会随着迭代在极小值附件震荡，甚至越走越远。这就要求我们设置合理的步长。

2.2 Hessian计算复杂

另外牛顿法中Hessian矩阵计算十分复杂，于是就引入了拟牛顿法，可以设计近似矩阵来代替复杂的Hessian矩阵。

3. 共轭方向法

共轭方向法的求解的主要是n维的二次型函数：

通过找到关于Q的一系列共轭方向d，然后分别从每个共轭方向上优化，最终可以在n步之内得到结果。

同时为了更方便的找到共轭方向，引入使用迭代求出共轭方向的方法，如下的共轭梯度法：

为了说明清楚，我们需要：

• 定义共轭方向
• 通过朝共轭方向更新x，可以收敛到极小值
• 共轭梯度法构造得到的是共轭方向

3.1 共轭方向

共轭方向的定义如下，Q是上面所述的二次型函数中的表达。

关于共轭方向还有一个重要引理：