GMM的EM算法实现

article/2025/9/19 4:00:51

在聚类算法K-Means, K-Medoids, GMM, Spectral clustering，Ncut一文中我们给出了GMM算法的基本模型与似然函数，在EM算法原理中对EM算法的实现与收敛性证明进行了详细说明。本文主要针对如何用EM算法在混合高斯模型下进行聚类进行代码上的分析说明。

1. GMM模型：

每个 GMM 由 K 个 Gaussian 分布组成，每个 Gaussian 称为一个“Component”，这些 Component 线性加成在一起就组成了 GMM 的概率密度函数：

根据上面的式子，如果我们要从 GMM 的分布中随机地取一个点的话，实际上可以分为两步：首先随机地在这 K个Gaussian Component 之中选一个，每个 Component 被选中的概率实际上就是它的系数 pi(k) ，选中了 Component 之后，再单独地考虑从这个 Component 的分布中选取一个点就可以了──这里已经回到了普通的 Gaussian 分布，转化为了已知的问题。

那么如何用 GMM 来做 clustering 呢？其实很简单，现在我们有了数据，假定它们是由 GMM 生成出来的，那么我们只要根据数据推出 GMM 的概率分布来就可以了，然后 GMM 的 K 个 Component 实际上就对应了 K 个 cluster 了。根据数据来推算概率密度通常被称作 density estimation ，特别地，当我们在已知（或假定）了概率密度函数的形式，而要估计其中的参数的过程被称作“参数估计”。

2. 参数与似然函数：

现在假设我们有 N 个数据点，并假设它们服从某个分布（记作 p(x) ），现在要确定里面的一些参数的值，例如，在 GMM 中，我们就需要确定影响因子pi(k)、各类均值pMiu(k) 和各类协方差pSigma(k) 这些参数。我们的想法是，找到这样一组参数，它所确定的概率分布生成这些给定的数据点的概率最大，而这个概率实际上就等于，我们把这个乘积称作似然函数 (Likelihood Function)。通常单个点的概率都很小，许多很小的数字相乘起来在计算机里很容易造成浮点数下溢，因此我们通常会对其取对数，把乘积变成加和 $\sum_{i=1}^N \log p(x_i)$ ，得到 log-likelihood function 。接下来我们只要将这个函数最大化（通常的做法是求导并令导数等于零，然后解方程），亦即找到这样一组参数值，它让似然函数取得最大值，我们就认为这是最合适的参数，这样就完成了参数估计的过程。