一、行列式（数）

1.性质(对行、列都成立)

		1.转置值不变2.互换两行，值变号3.两行元素完全相同，值为04.行列式某一行元素加上另一行对应元素的k倍，D不变。5.某一行元素与另一行元素的代数余子式的乘积之和=06.用数k乘"某一行"	==>	kD	;	行列式整体提k,相当于把k^n提出来7.若某一行元素是两数之和，则行列式可以拆成两个行列式的和8.克莱姆法则(前提:n个方程组 n个未知数 ):D!=0,有唯一解，D==0，有非零解

2.行列式的计算

（1）对角线法则

	1.适用范围:	1-3阶行列式

（2）展开公式

0）使用技巧

	(1) 4阶以上(2) 多化0好展开

1）背景知识

余子式M 与代数余子式A

	想到展开公式、M、A的概念以及A*

2）按行展开定理定义

 	D = 某一行的所有元素a与其对应A(代数余子式)乘积之和

3）展开公式推论

	某一行所有元素与另一行相应元素的A(代数余子式)的乘积之和 == 0

（3）公式运算（>展开）

图片1

	3为拉普拉斯公式

1.拉普拉斯例题

在这里插入图片描述

2.范德蒙德证明

	//复习全书	P148	例题8"(归纳法)" : 对Dn,从第n行开始，依次把上一行的 -x1 倍加到下一行

在这里插入图片描述

范德蒙德例题

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（4）爪形（不看对角线）（未完待续）

例题

在这里插入图片描述

♥技巧1

	每一行 + 到第一行 ==> 提公因数 ==> 化上下三角

在这里插入图片描述

♥技巧2

	"第一行的-1倍" 分别 加到其他各行 ==> "得到爪形" ==> 每一列都加到第一列 ==> 化上下三角

技巧3

	从倒数第二行开始，依次把上一行的-1倍加到下一行；然后把各列都加到第一列，按第一列展开

爪形例题

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	"第一行的-1倍" 分别 加到其他各行	 ==> "化为爪形" ==> 通过 "列变换" ==> 化为上下三角

在这里插入图片描述

特征值（未完待续）

（5）求特征值的题

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♥技巧

	遮掉主对角线的元素，观察其余元素，找出那两个数（要么同行要么同列，化的时候看这两行或者两列看看能不能出公因数就行）加加减减化为0的同时可以化出未知数的公因数

3.克拉默法则（证明题）

"前提条件"：	n个方程组，n个未知数"推论："D ！= 0  ==> 方程组有唯一解==>	x1=D1/D		x2=D2/D 	x3=D3/D	.....1.齐次方程组 D==0 ==> 有非零解,非满秩2.齐次方程组	D!=0 ==> 只有唯一零解，满秩

二、矩阵（表格）

1. 运算

	1.加法："同型矩阵"2.数乘：(1).kA = [kaij]		"每一个元素都乘k"，与行列式区分开来3.矩阵相乘："外型内同"(1)AB != BA								  ==>	没有交换律(2)AB = 0 			"推不出" A=0 或者 B=0	   	(3)AB = AC, A!=0 	"推不出" B == C 		==>	  没有消去律

2.转置运算法则

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3.对角矩阵 ^

	//前提：一定时N阶矩阵

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4. n维列向量

		♥一见到 "行在前列在后"的就想到一定藏有"数",特别是展开的时候，有数就可以提出来

在这里插入图片描述

        	♥.123是矩阵 			456是数♥.2是1的转置♥.3是对称矩阵，代表对称矩阵♥.6是列矩阵元素平方和，>=0♥.4和5相等，其值是1(2)主对角线元素之和,也叫矩阵的迹

5.伴随矩阵

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♥♥♥重要公式

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6.可逆矩阵（N阶）

	1.定义：AB = BA = E2.♥定理♥(1)如果A可逆 ==> A逆唯一，记作 A-"推论" : A、B是N阶矩阵，如果AB = E，则 A- = B==> 这个推论告诉我们，只要证明AB=E就能直接推出A的逆 == B(2)A可逆  <==>	|A|!=0(3)可逆矩阵 ==> 满秩,线性无关，特征值全不为0

性质公式

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定理(1)的证明

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♥做题技巧

	看看这里"加E"的变形

7.可逆矩阵的求法

	1.定义法		 AB = BA = E2.用伴随矩阵 	A- = 1/|A|A*		2阶最好，3阶也行3.初等行变换		(A|E) -> 把A化为E 4.分块矩阵

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8.初等变换、初等矩阵、等价矩阵

	//左乘行变换，右乘列变换初等矩阵:	经"一次"初等变换得到的矩阵 ，初等矩阵均可逆，且其逆是同一类型的矩阵	矩阵等价：  A经有限次初等变换得到的矩阵B,    A 等价 B ==> r(A)==r(B)

求初等矩阵的逆矩阵

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9.分块矩阵（重要技巧）

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1.运算

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	例题要按行还是按列得看乘法规则,内同（前列 == 后行）

2.按列分块

	//C的列向量可由A的列向量线性表出

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3.按行分块

	//C的行向量可由B的行向量线性表出

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这里搞不懂

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4.把问题变为方程组问题

如AB=C

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例题

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10.方阵的行列式

公式

	"3公式"前提条件：AB都是n阶方阵    "4公式"重要    "7公式"A与B相似

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例题

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题型

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♥♥♥♥♥只能行变换♥♥♥♥♥

思想与技巧

	1.相同系数矩阵不同常数项的可以合并做    2.见到nn型就想到|A|==0

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三、线性表出和相关无关

1.求线性表出（非齐次 ==> TUV）

    线性表出：向量组b可以由a1,a2..am	"线性表出" <==>	非齐次方程组"有解""线性表出求法"  1.题目给出具体坐标，用下面定理，问能不能线性表出 ==> 非齐次方程组有没有解 ==> 	r(A) =!= r(A增广)"三种情况"1.表出唯一，r(A) == r(A增广) == n2.表出无穷，r(A) == r(A增广) < n3.不能表出，r(A)+1 == r(A增广) ============================================================================================================        "非齐次方程组有解判定":	r(A) = r(A增广)//三种解：1.无解		  r(A) != r(A增广)	或  r(A)+1 	== 	r(A增广)2.唯一解		 r(A) == r(A增广)= n		3.有无穷解		r(A)  == r(A增广)<n"解的结构":	特解 + 通解（基础解系） 	//（答案不唯一）或者用TUV方法化到T型阵	 ==>		判断有无解化为行最简   ==>		   求解:特解 + 通解（基础解系）

例题

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抽象题（强化班见）

2.求线性相关(齐次)

	//线性相关：        存在一组不全为0的k1k2,...,kn,使得k1a1+k2a2+...+knan = 0  <==>	线性相关 ==>	齐次方程组有"非零解"，不满秩	    "线性相关的求法"		所有齐次方程组 ==> 至少有一个零解        定理	"线性相关" ==> r(A) < n <==> AmnX=0有非零解    (1)当n个n维 当|A| = 0 （★★不满秩==>不可逆★★ 有非零解）  ==>  r(A) < n ==> 线性相关	(2)不是n个n维	==> r(A) < n (n为向量的个数)   	    推论	m<n时 ==> 必有非零解	==>相关                         ============================================================================================================                             	"齐次方程组的求法"	所有齐次方程组 ==> 至少有一个零解	"基础解系" 	"定理:n-r(A),即基础解系里的向量个数为n-r(A)	//TUV方法（目标是求线性表出和向量和矩阵问题，求方程组的解一般使用解的结构）	♥步骤♥    0.先化为行最简    1.解的结构：通解 = 特解 + 基础解系(齐次，右边全为0)    2.TUV(适用于本意不是解方程组，而是为了得到"向量的线性表出"、"矩阵"		==>  	直接令自由变量==t)

简单向量

	(1)显然含有"零向量"，"相等向量"或"成比例向量"的向量组 ==> 线性相关    (2)单个向量为"零向量" ==> 线性相关    (3)两个向量时，"成比例时" ==> 线性相关

复杂向量

	r(A)<n 或者 |A| == 0 ==>线性相关

例题

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3.线性表出与相关无关的定理

"定理："    2.(不太明白)任何部分组相关 ==> 整体组相关，整体组无关 ==> 任何部分组无关，反之都不成立    3.(不太明白)a1,a2,...,am线性无关 ==> 延申组线性无关，延申组线性相关 ==> 缩短组a1,a2...am线性相关，反之不成立    4.向量组a1,a2...as(s>=2)线性相关 <==> 至少有一个向量ai可以由其他向量线性表出    5.若向量组a1,a2...as线性无关，而向量组a1,a2...as,b线性相关，则b可由a1,a2...as线性表出，且表出法唯一。    6.如果a1a2...as可由b1b2...bt线性表出，且s>t，则a1a2...as必线性相关。      推论：（用于判断两个向量组的个数谁大谁小）      如果a1a2...as线性无关，且a1a2...as可由b1b2...bt线性表出，则s<=t    7.线性表出有传递性

定理4的证明

//不一定是a1可由其他向量线性表出，但是一定存在ai可以被其他向量线性表出

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定理5的证明

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定理6例题

	判断这个向量组b {a1+a2 , 3a1-5a2 , 4a1+7a2} 是否线性相关？【解】：        必定线性相关,因为b1,b2,b3均可以由a1,a2线性表出,且b的个数 > a的个数  ，即3>2        ==>b1b2b3线性相关        	//s为a1a2...as中向量的个数	//t为b1b2...bt中向量的个数	白话：多数向量可以用少数向量表出，多数向量一定线性相关

线性表出具有传递性

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4.证线性组无关例题

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5.向量组的秩

	极大无关组的个数 == 向量组的秩

向量组极大无关组（等价于方程组的基础解系）

	(1)线性无关(2)任意ai 可由无关组线性表出

定理及其证明

	一个向量组中各极大无关组的向量个数相等

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求极大无关组（列摆行变换）

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6.矩阵的秩（难点）

	矩阵的秩：A中非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记为r(A)            r(A)=a <==> A中有a阶子式不为0，而所有a+1阶子式（若有）全为0         r(A)<a <==> A中a阶子式全为0        r(A)>=a <==>A中存在a阶子式不为0        A!=0 <==> r(A)>=1                A-n阶	        	r(A)=n <==> |A|!=0 <==> A可逆

矩阵秩的公式

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求矩阵的秩的题

 	方法：经过初等变换，矩阵的秩不变        看到|A| != 0 ==> A可逆，就可以用公式

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四、线性方程组

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1.解方程组的两种方法

	1.解的结构(单纯解方程组)：通解 = 特解 + 基础解系(齐次，右边全为0)    2.TUV(适用于把方程组的解写成向量的结构，得到"向量"、"矩阵"		==>  	直接令自由变量==t)

2.解的性质

	(1)如果a1,a2是	Ax=0("齐次")	的解，则k1a1+k2a2仍是	Ax=0("齐次")的解    (2)如果a1,a2是	Ax=b("非齐次")	的解，则a1-a2是	Ax=0("齐次")	的解        因为：Aa1=b (1)	Aa2=b(2)	(1)-(2) ==>	A(a1-a2)=0    (3)如果a是Ax=b的解，	n是Ax=0的解，则	a+n	是	Ax=b	的解        因为：Aa=b	 (1)	An=0 (2)	(1)+(2) ==>	A(a+n)=b

3.齐次求法（相关无关）

    "齐次方程组的求法"	所有齐次方程组 ==> 至少有一个零解  ==> 求"基础解系" 	"定理:n-r(A),即基础解系里的向量个数为n-r(A)	//TUV方法（目标是求线性表出和向量和矩阵问题，求方程组的解一般使用解的结构）	♥步骤♥    0.先化为行最简    1.解的结构：通解 = 特解 + 基础解系(齐次，右边全为0)    2.TUV(适用于本意不是解方程组，而是为了得到"向量的线性表出"、"矩阵"		==>  	直接令自由变量==t)                  //基础解系就是极大无关组    极大无关组和基础解系不唯一    (1)线性无关    (2)任意ai 可由无关组线性表出            ============================================================================================================                      //线性相关：    存在一组不全为0的k1k2,...,kn,使得k1a1+k2a2+...+knan = 0  <==>	线性相关 ==>	齐次方程组有"非零解"，不满秩	    "线性相关的求法"		所有齐次方程组 ==> 至少有一个零解        定理	"线性相关" ==> r(A) < n <==> AmnX=0有非零解    (1)当n个n维 当|A| = 0 （★★不满秩==>不可逆★★ 有非零解）  ==>  r(A) < n ==> 线性相关	(2)不是n个n维	==> r(A) < n (n为向量的个数)   	    推论	m<n时 ==> 必有非零解	==>相关

求基础解系例题（原则：回避分数）

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做题技巧

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其他类型的例题

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给出基础解系，求齐次方程组

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4.非齐次线性方程组

	"非齐次有解判定":	r(A) = r(A增广)    //三种解：    1.无解		  r(A) != r(A增广)	或  r(A)+1 	== 	r(A增广)    2.唯一解		 r(A) == r(A增广)= n		    3.有无穷解		r(A)  == r(A增广)<n	"解的结构":	特解 + 通解（基础解系） 	//（答案不唯一）	或者用TUV方法    	化到T型阵	 ==>		判断有无解	化为行最简   ==>		   求解:特解 + 通解（基础解系）         ============================================================================================================            	"线性表出求法"    1.题目给出具体坐标，用下面定理，问能不能线性表出 ==> 非齐次方程组有没有解 ==> 	r(A) =!= r(A增广)    "三种情况"    1.表出唯一，r(A) == r(A增广) == n    2.表出无穷，r(A) == r(A增广) < n    3.不能表出，r(A)+1 == r(A增广)

例题

	(1)先化梯形阵再讨论，有参数放下面，讨论参数值时后面顺便说有无解，再把梯形化为行最简    (2)遇到爪型讨论后可以直接化为1；

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5.方程组的应用

例题

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五、(A是n阶矩阵）特征值、特征向量

1.求特征值和特征向量

	"定义"        设A是"n阶"矩阵，α 是 n维"非零"列向量 ==> A α = λ α， "(α != 0)"        则称 λ 是矩阵A的特征值，α是矩阵A对应于特征值λ的特征向量。    ==> (λE - A)α = 0 	==>  α是齐次方程组 (λE - A)x =0 的非零解        (1)由|λE - A|=0 求特征值λ；	(2)对(λiE-A)x=0求基础解系，即求特征向量           "定理"        (1)对于同一个特征值λ下的特征向量α1，α2,当k1α1 + k2α2 != 0时（因为特征向量本来就不可以等于0），           k1α1 + k2α2仍是A关于λ的特征向量。        (2)如果λ1、λ2是不同的特征值，则对应的特征值α1、α2必线性无关        	如果是实对称矩阵，不同特征值所对应的特征向量相互正交。        (3)∑ λi  == ∑aii (特征值的和 == 迹);	|A| = ∏ λi

求 λ（|λE-A| = …）、α 步骤

	(1)求 λ ==> "化0且成比例"    (2)求 α ==>	由于|A|==0 ==> 可以把任一行直接为0，因为|A|==0,不满秩       	//一、当A是具体矩阵时（例1）    	步骤:	1.由A的"特征多项式" |λE-A| = ... ==> 求出 λ1 λ2...  "（求特征值==>寻找++--得零且成比例）"    2.带入矩阵（λE-A）x = 0 求得基础解系 ..... "k1 k2 不全为0"                特征值是重跟时，若有n重根个线性无关的特征向量 ==> 可以相似对角化，否则不可以相似对角化        //二、抽象矩阵时（例二）    	步骤:	1.设Aα = λα ( α!=0 )    2.带入矩阵（λE-A）x = 0 求得基础解系 ..... "k1 k2 不全为0"                特征值是重跟时，若有n重根个线性无关的特征向量 ==> 可以相似对角化，否则不可以相似对角化                //三    给出α，求未知值时，使用 Aα = λα ( α!=0 )，因为|λE-A| = ...主要是求特征值λ的

例题1

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2.特征值的公式

	1.(A+kE)α = (λ+k)α  	如	A : 1,3,-2       A-E : 0,2,-3       A+3E: 4,6,1           	    2.A²α = λ²α		α!=0

例题2

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例3

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3.相似矩阵

---	"定义"		设A、B都是n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使 P(逆)AP = B,称 A~B    --- "性质"    	A~A ,	P为E        A~B ==> B~A        A~B 、 B~C ==> A~C                     --- "A~B的定理："           (1) A~B ==> 相同的特征多项式 |λE-A|  ==>  特征值相同    	   即 |λE-A| = |λE-B| = λA = λB	         (2) A~B ==> r(A) = r(B)    	(3) A~B ==> |A| = |B|    	(4) A~B ==> ∑ aii  == ∑bii (特征值的和相同，等于迹);			(5) A~B ==>	A² ~ B²        (6) A~B ==> A+kE ~ B+kE		(7) A~B 且 A可逆 ==> B亦可逆 ==> A(逆) ~ B(逆)

例题

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定理证明

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4.相似对角化(n个无关特征向量)

	如果n阶矩阵A~^,则称A可以相似对角化  P(逆)AP=^    "特征值" ==> "对角矩阵"	，	"特征向量" ==> "可逆矩阵P"        "定理"         (1) A~^  <==>  A有n个线性无关的"特征向量"	==> 特征向量代表可逆矩阵P//不是所有的A矩阵都和对角矩阵相似        	推论：如果A有n个不同的"特征值" ==> A~^         (2) A~^  <==>  λ是A的k重"特征值"，则λ有k个线性无关的"特征向量"，反正n阶矩阵A要保证有n个线性无关的特征向量,保证可逆				矩阵p（特征向量）可逆

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5.相似对角化（求可逆矩阵P）的步骤

	1.求特征值(特征多项式和定义法)：λ1 λ2 λ3  ( 可以有重跟 ) 		 == 	求 ^    2.求特征向量 α1 α2 α3  				 	== 	   求 P    3.构造"可逆矩阵"  P=(α1 α2 α3)        令P=(α1 α2 α3)        则P(逆)AP = ^ = [特征值]                        可逆矩阵P = 线性无关的特征向量

例题

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6.向量的内积

	"向量内积" (a,b) = a1b1+...+anbn"向量正交" (a,b) = 0 ,称a与b正交"向量长度" (a,a) = a1² + a2² + ... + an²,根号下(a,a)为向量a的长度,记为 ||a||

向量内积性质

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7.正交矩阵的定义

	A-n阶，若 AA(转置) = A(转置)A = E,则称A是正交矩阵A是正交矩阵 <==> A(转置) = A(逆)  ★★★ <==> A的列向量都是单位向量且两两正交<==> |A| = 1 or -1 ,	 因为 AAT = E => |AAT| = |E| => |A|*|AT| = 1 => |A| = +-1

8.★★★实对称矩阵★★★

	(1)一定可以相似对角化(2)"特征值"不同"特征向量"相互正交(3)可以用"正交矩阵Q"相似对角化"定理"(1)实对称矩阵一定和 ^相似(2)实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量相互正交(3)实对称矩阵必存在正交矩阵Q，使Q(逆)AQ = Q(T)AQ = ^

实对称矩阵的例题

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9、相似对角化（求正交矩阵Q）的步骤

	使 Q(逆)AQ = Q(T)AQ = ^1.求特征值(特征多项式和定义法)：λ1 λ2 λ3   	== 	求 ^2.求特征向量 α1 α2 α3  	== 	求 P3.改特征向量为  r1 r2 r3(1)如果特征值不同（==>特征向量相互正交），只需单位化(2)若特征值有重根1.如果特征向量已经正交，只需单位化2.如果特征向量不正交，需Schmidt正交化（强化班）4.改造"正交矩阵" 	Q=(r1,r2,r3)Q(-)AQ = ^ = [特征值]

例题

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不会的题：

p192 (1)、(3)

六、二次型

概念

	1.二次矩阵A为实对称矩阵	AT == A2.写出二次矩阵A：对角线为平方项系数，其他折半按位放。3.标准型：只有平方项，没有混合项(1)规范型：平方项只能是 1  -1  0	(前提是标准型)		★★★  先化标准型再化成规范型(2)正惯性指数，负惯性指数 p q	    (前提是标准型)4.二次型的秩 r(f)     ==>	 二次矩阵A的秩 r(A)5.坐标变换		: x=Cy	==> ★★★  C!=0 ，C可逆6.合同（来源于坐标变换）    性质：(1)	A与A合同(2)	A与B合同  <==>	B与A合同(3)	合同具有传递性(4)★★★	pA = pB;	qA = qB;一个矩阵可以和多个矩阵合同，看你怎么选可逆矩阵c,看两个矩阵是否合同可以看惯性指数是否相等
```![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/f968310de4c5456aa956bf8f7bfbc11f.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s,shadow_50,text_Q1NETiBA5Lq66bG85pyb5bGx6I23,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16)
![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/34e8a9a4f7aa4bc0b19befa1c35b7b0b.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s,shadow_50,text_Q1NETiBA5Lq66bG85pyb5bGx6I23,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16)
## 二次型的定理```java1.对任意二次型 f = xTAx,都能通过"配方法 x = Cy (C可逆)" 化为 标准型 ==> 进而化为 规范型2.1.对任意二次型 f = xTAx,都能通过正交变换x = Qy,使f化为标准型

配方法例题一

一个一个配，不着急

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例题二，没有平方项自己凑

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正交变换法

	二次型通过坐标变换得到的标准型的"平方项系数"就是特征值求"坐标变换"就是求A的特征向量

例题

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正定二次型

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线性代数知识

一、行列式（数）

1.性质(对行、列都成立)

2.行列式的计算

（1）对角线法则

（2）展开公式

0）使用技巧

1）背景知识

余子式M 与 代数余子式A

2）按行展开定理定义

3）展开公式推论

（3）公式运算（>展开）

1.拉普拉斯 例题

2.范德蒙德 证明

范德蒙德 例题

（4）爪形（不看对角线）（未完待续）

例题

♥技巧1

♥技巧2

技巧3

爪形例题

特征值（未完待续）

（5）求特征值的题

♥技巧

3.克拉默法则（证明题）

二、矩阵（表格）

1. 运算

2.转置运算法则

3.对角矩阵 ^

4. n维列向量

5.伴随矩阵

♥♥♥重要公式

6.可逆矩阵（N阶）

性质公式

定理(1)的证明

♥做题技巧

7.可逆矩阵的求法

8.初等变换、初等矩阵、等价矩阵

求初等矩阵的逆矩阵

9.分块矩阵（重要技巧）

1.运算

2.按列分块

3.按行分块

这里搞不懂

4.把问题变为方程组问题

例题

10.方阵的行列式

公式

例题

题型

♥♥♥♥♥只能行变换♥♥♥♥♥

思想与技巧

三、线性表出和相关无关

1.求线性表出（非齐次 ==> TUV）

例题

抽象题（强化班见）

2.求线性相关(齐次)

简单向量

复杂向量

例题

3.线性表出与相关无关的定理

定理4的证明

定理5的证明

定理6例题

线性表出具有传递性

4.证线性组无关例题

5.向量组的秩

向量组极大无关组（等价于 方程组的基础解系）

定理及其证明

求极大无关组（列摆行变换）

6.矩阵的秩（难点）

矩阵秩的公式

求矩阵的秩的题

四、线性方程组

1.解方程组的两种方法

2.解的性质

3.齐次求法（相关无关）

求基础解系例题（原则：回避分数）

做题技巧

其他类型的例题

余子式M 与代数余子式A

1.拉普拉斯例题

2.范德蒙德证明

范德蒙德例题

向量组极大无关组（等价于方程组的基础解系）