本节开始笔者针对自己的研究领域进行RL方面的介绍和笔记总结，欢迎同行学者一起学习和讨论。本文笔者来介绍RL中比较出名的算法PPO算法，读者需要预先了解Reinforcement-Learning中几个基础定义才可以阅读，否则不容易理解其中的内容。不过笔者尽可能把它写的详细让读者弄懂。本文干货内容较多，注重算法理解和数学基础而不仅仅是算法实现。
本文一定程度上参考了李宏毅"Reinforcement-Learning"
本文内容不难，适合想要学习RL的初学者进行预备，PPO是OpenAI的默认RL框架，足以见得它的强大。

1、预备知识

1.1、策略梯度

首先笔者来介绍策略梯度算法，为后续的内容做铺垫，首先给予读者一些RL中基本定义：
1.State:状态，也即智能体(Agent)当前所处的环境是什么？$(s)$
2.Action:动作，也即Agent在当前可以采取的行动是什么？$(a)$(该行为我们可以通过网络可控)
3.Reward:奖励，也即Agent在当前状态下采取动作Action后得到了多大的奖励？$(r)$
首先，设置Agent采取的总步长为$t$,这也即我们获得了一条轨迹(trajectory):$\tau$:
$$\tau =(s_1,a_1,r_1,s_2,a_2,r_2\cdot \cdot \cdot \cdot s_t,a_t,r_t),R(\tau )=\sum _{i=1}^t{r}_t$$
事实上，上述的1,2,3中我们只有2是可控的，其他的1，3为从环境中获取的，是无法人为干预的。假设我们拥有一个具有网络参数为$\theta$的策略${\pi }_{\theta }(a_t|s_t)$，那么显然我们的目标是想要使得总Reward越大越好，但由于该奖励为一个随机变量，因此我们只能求得它的期望。即target任务为最大化以下函数：
$$E_{\tau }[R(\tau )]=\int p_{\theta }(\tau )R(\tau )$$
为了让上述期望最大化，我们需要策略梯度，即：
$${\nabla }_{\theta }{E}_{\tau }[R(\tau )]=\int {\nabla }_{\theta }{p}_{\theta }(\tau )R(\tau )=\int p_{\theta }(\tau ){\nabla }_{\theta }log(p_{\theta }(\tau ))R(\tau )$$
以下简称策略梯度${\nabla }_{\theta }{E}_{\tau }[R(\tau )]={\nabla }^{\ast }$，由上述推导我们可知:
$${\nabla }^{\ast }=\int p_{\theta }(\tau ){\nabla }_{\theta }log(p_{\theta }(\tau ))R(\tau )=E_{\tau }[{\nabla }_{\theta }log(p_{\theta }(\tau ))R(\tau )]$$
由于$p_{\theta }(\tau )={\prod }_{i=1}^t{\pi }_{\theta }(a_t|s_t)$,故代入有：
$${\nabla }^{\ast }=E_{\tau }[R(\tau )]=E_{\tau }[R(\tau )\sum _{i=1}^t\nabla log({\pi }_{\theta }(a_i|s_i))]$$
因此，在实际应用的时候，用sampling的办法，应该做一些的更新方式($lr$为学习率):
$${\nabla }^{\ast }=\frac{1}{s}\sum _{k=1}^s\sum _{i=1}^{t}R({\tau }^k)\nabla log({\pi }_{\theta }(a_i^k|s_i^k))$$
$$\theta =\theta +lr{\nabla }^{\ast }$$
但是，该${\nabla }^{\ast }$存在以下的缺陷。

1.1.1、策略梯度缺陷(1)

首先针对${\nabla }^{\ast }$而言，直观的理解为，若某一条轨迹$\tau$得到的奖励总和$R(\tau )$为正(positive)的，那么该策略梯度会升高产生这条轨迹的每一步骤产生的概率大小，若$\tau$得到的奖励总和$R(\tau )$为负(negative)的，那么该策略梯度会降低产生该条轨迹的概率大小，但若奖励总和$R(\tau )$总为positive的，那该策略梯度会受到一定的影响。虽然Reward的大小可以反应策略梯度上升的快慢大小，但是由于动作是通过Sample来获取的，因此会产生某些"好的动作"没办法被偶然采样到，那么该好的动作就容易被忽略掉。因此一般会采用以下更新策略梯度方式来更新，保证$R(\tau )$有正有负。
$${\nabla }^{\ast }=E_{\tau }[(R(\tau )-b)\sum _{i=1}^t\nabla log({\pi }_{\theta }(a_i|s_i))]=E_{\tau }[\sum _{i=1}^t(R(\tau )-b)\nabla log({\pi }_{\theta }(a_i|s_i))]$$
其中$b$为待定参数，可以为人工设定或者其他办法获得。

1.1.2、策略梯度缺陷(2)

策略梯度的缺陷之二是：针对，更新时刻每一步${\pi }_{\theta }(a_i|s_i)$，他们共用一个$R(\tau )$，这会带来很大的问题，因为显然地，一个轨迹的总Reward高不见得每一步的Reward都要求的是好(高)的并且完美的，而是一个整体的现象。如果单纯用一整条轨迹更新轨迹中每个操作显得很不满足条件。
因此，常见的处理办法之一为：采用未来折扣回报来代替$R(\tau )$:
其中第$i$步时的未来折扣回报的定义为：${\sum }_{k=i}^t{\delta }^{k-i}{r}_k$，代表了从第$i$步到结束的带有折扣因子$\delta$的未来总奖励大小。
因此策略梯度被写成了如下情况：
$${\nabla }^{\ast }=E_{\tau }[\sum _{i=1}^t(\sum _{k=i}^t{\delta }^{k-i}{r}_k-b)\nabla log({\pi }_{\theta }(a_i|s_i))]$$
往往，某些时刻，我们可以将未来折扣回报${\sum }_{k=i}^t{\delta }^{k-i}{r}_k$视为在当前$s_i$下，采取了动作$a_i$，未来给了我多少奖励，也即当前状态$s_i$下，采取了动作$a_i$的好坏程度，这通常称之为状态价值函数，一般用$Q(s_i,a_i)$来表示，通常情况下，未来折扣回报是通过$Q(s_i,a_i)$来进行估计的，若将其也视为一个网络，参数为$\delta$,这即：
$${\nabla }^{\ast }=E_{\tau }[\sum _{i=1}^t{Q}_{\delta }(s_i,a_i)\nabla log({\pi }_{\theta }(a_i|s_i))]$$
则想要更新参数时，可以首先采样出一系列轨迹$({\tau }_1,{\tau }_2,{\tau }_3\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot {\tau }_k)$，并进行策略梯度的更新:
$${\nabla }^{\ast }=\sum _{m=1}^k\sum _{i=1}^t{Q}_{\delta }(s_i^m,a_i^m)\nabla log({\pi }_{\theta }(a_i^m|s_i^m))$$
$$\theta =\theta +lr{\nabla }^{\ast }$$当然，这是针对某一个整条轨迹做更新的，那么如果想要按照时间步长逐步更新(第$l$步)：
$${\nabla }_l^{\ast }=\sum _{m=1}^k{Q}_{\delta }(s_l^m,a_l^m)\nabla log({\pi }_{\theta }(a_l^m|s_l^m))$$这也即采样了一个Batch的第$l$步的$(s_l,a_l)$信息后，进行的梯度更新：
$${\nabla }_l^{\ast }=E_{a_l～{\pi }_{\theta }(a_l|s_l)}[(Q_{\delta }(s_l^m,a_l^m)\nabla log({\pi }_{\theta }(a_l^m|s_l^m))]$$策略梯度有个明显的缺点，就是更新过后，网络${\pi }_{\theta }$就发生了改变，而策略梯度是要基于${\pi }_{\theta }$进行采样的，因此，之前的采样样本就失效了，也即参数只能被更新一次，之后需要根据更新后的重新采集样本。这显然用起来非常不方便，理想情况下如果能够进行off-policy更新，即某个样本可以被反复更新而不需重采样，这就需要1.2的重要性采样过程。

1.2、Important-Sampling

设需要估计$E_{x～p}[f(x)]$，但是无法从$p(x)$中进行sampling,只能从一个以知的分布$q(x)$进行采样，那如何计算所要求的期望?
事实上:
$$E_{x～p}[f(x)]=\int p(x)f(x)=\int q(x)\frac{p(x)}{q(x)}f(x)=E_{x～q}[\frac{p(x)}{q(x)}f(x)]$$
即
$$E_{x～p}[f(x)]=E_{x～q}[\frac{p(x)}{q(x)}f(x)]$$
这是理论相等，但是存在如下问题:
$$Va{r}_{x～p}[f(x)]=E_{x～p}[f^2(x)]-(E_{x～p}[f(x)]{)}^2$$
$$Va{r}_{x～q}[\frac{p(x)}{q(x)}f(x)]=E_{x～q}[\frac{p^2(x)}{q^2(x)}{f}^2(x)]-(E_{x～p}[f(x)]{)}^2$$
$$E_{x～q}[\frac{p^2(x)}{q^2(x)}{f}^2(x)]=\int \frac{p^2(x)}{q(x)}{f}^2(x)=\int \frac{p(x)}{q(x)}p(x)f^2(x)$$
$$E_{x～p}[f^2(x)]=\int p(x)f^2(x)$$
很明显若$\frac{p(x)}{q(x)}>>1$，此时$Va{r}_{x～q}[\frac{p(x)}{q(x)}f(x)]>>Va{r}_{x～p}[f(x)]$
即，若通过采样的办法，两个分布的差异不能太大，若进行的话，采样是不准确的，甚至是失真的。
为了可以用到RL中进行off-policy的更新，我们需要定义两个策略网络,一个是${\pi }_{{\theta }^{{}^{\prime }}}$专门负责进行采样操作，一个是${\pi }_{\theta }$，为待学习的网络参数，相应的，还存在两个价值网络，一个参数为${\delta }^{{}^{\prime }}$负责给予探索的动作打分，一个参数为$\delta$为待学习的参数，则此时
$${\nabla }_l^{\ast }=E_{a_l～{\pi }_{\theta }(a_l|s_l)}[(Q_{\delta }(s_l^m,a_l^m)\nabla log({\pi }_{\theta }(a_l^m|s_l^m))]$$根据Important-Sampling原理可进行如下替换，并且可以更新多步而不局限于更新一次：

$${\nabla }_l^{\ast }=E_{a_l～{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(a_l|s_l)}[\frac{{\pi }_{\theta }(a_l|s_l)}{{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(a_l|s_l)}(Q_{{\delta }^{{}^{\prime }}}(s_l^m,a_l^m)\nabla log({\pi }_{\theta }(a_l^m|s_l^m))]$$
进行整理后得到：
$${\nabla }_l^{\ast }=\int {\pi }_{\theta }(s_l|a_l)[(Q_{\delta }(s_l^m,a_l^m)\nabla log({\pi }_{\theta }(a_l^m|s_l^m))]=\int Q_{\delta }(s_l^m,a_l^m)\nabla {\pi }_{\theta }(s_l|a_l)$$
若目标函数称为为$J_l(\theta )$,令$\nabla J_l={\nabla }_l^{\ast }$则
$$J_l(\theta )=E_{a_l～{\pi }_{\theta }(a_l|s_l)}[Q_{\delta }(s_l^m,a_l^m)]=E_{a_l～{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(a_l|s_l)}[\frac{{\pi }_{\theta }(a_l|s_l)}{{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(a_l|s_l)}{Q}_{{\delta }^{{}^{\prime }}}(s_l^m,a_l^m)]$$
那么，每一次主需要计算$J_l(\theta )$，在第$l$步进行更新即可：
$$\theta =\theta +lr{\nabla }_{\theta }{J}_l(\theta )$$

2、置信策略优化(TRPO)与近端策略优化(PPO)

2.1、TRPO与PPO的区别

根据1节所讨论的部分，下面介绍这两种算法的本质区别，在1.2节已经提到了，要想使用Important-Samlping办法，那么两个策略网络的差异不能够太大，否则将会出现估计失真的情况。根据此，TRPO的策略优化函数需要满足以下两个条件为:
$$J_l^{TRPO}(\theta )=E_{a_l～{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(a_l|s_l)}[\frac{{\pi }_{\theta }(a_l|s_l)}{{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(a_l|s_l)}{Q}_{{\delta }^{{}^{\prime }}}(s_l^m,a_l^m)]$$
$$E_l(KL[{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(\cdot |s_l)||{\pi }_{\theta }(\cdot |s_l)])\le \beta$$
其中$\beta$为超参数，这很麻烦，因为不仅需要进行策略梯度更新，还需要进行条件约束，相比之下，PPO采用了罚函数办法：
$$J_l^{PPO1}(\theta )=E_{a_l～{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(a_l|s_l)}[\frac{{\pi }_{\theta }(a_l|s_l)}{{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(a_l|s_l)}{Q}_{{\delta }^{{}^{\prime }}}(s_l^m,a_l^m)-\beta KL[{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(\cdot |s_l)||{\pi }_{\theta }(\cdot |s_l)]]$$
当发现$KL[{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(\cdot |s_l)||{\pi }_{\theta }(\cdot |s_l)]>a\ast 1.5$，此时说明两个分布差异过大，需要增大惩罚系数,此时$\beta \to 2\beta$
当发现$KL[{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(\cdot |s_l)||{\pi }_{\theta }(\cdot |s_l)]<a/1.5$，此时说明两个分布差异很小，需要调小惩罚系数,此时$\beta \to \beta /2$

2.2、Clip-PPO

OpenAI给出了另外一种裁剪PPO，下面笔者来介绍它的具体思想。
上面已经介绍过了，PPO的目的是为了缓解Important-Sampling差异较大带来的影响，若不加以任何限制，原始的目标优化函数为:
$$J_l(\theta )=E_{a_l～{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(a_l|s_l)}[\frac{{\pi }_{\theta }(a_l|s_l)}{{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(a_l|s_l)}{Q}_{{\delta }^{{}^{\prime }}}(s_l^m,a_l^m)]$$
现分成两种情况来介绍:
(1)$Q_{{\delta }^{{}^{\prime }}}(s_l^m,a_l^m)>0$
此时说明，这个动作很好，应该加大该${\pi }_{\theta }(a_l|s_l)$的概率，那么这个时候显然的，会增大对应的$\frac{{\pi }_{\theta }(a_l|s_l)}{{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(a_l|s_l)}$的概率，为了避免出现该值过分的增大，OpenAI提出了Clip方法，即设定一个上限$(1+ϵ)(1+0.2)$不允许超过。
即：
$$J_l^{PPO2}(\theta )=E_{a_l～{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(a_l|s_l)}[min(\frac{{\pi }_{\theta }(a_l|s_l)}{{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(a_l|s_l)}{Q}_{{\delta }^{{}^{\prime }}}(s_l^m,a_l^m),(1+ϵ)Q_{{\delta }^{{}^{\prime }}}(s_l^m,a_l^m))]$$对应的图示情况为：(A即为这里的Q)

(2)$Q_{{\delta }^{{}^{\prime }}}(s_l^m,a_l^m)<0$
此时说明，这个动作不是很好，应该减小该${\pi }_{\theta }(a_l|s_l)$的概率，那么这个时候显然的，会减小对应的$\frac{{\pi }_{\theta }(a_l|s_l)}{{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(a_l|s_l)}$的概率，为了避免出现该值过分的减小，OpenAI提出了反向的Clip方法，即设定一个下限$(1-ϵ)(1-0.2)$不允许低于。
即：
$$J_l^{PPO2}(\theta )=E_{a_l～{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(a_l|s_l)}[max(\frac{{\pi }_{\theta }(a_l|s_l)}{{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(a_l|s_l)}{Q}_{{\delta }^{{}^{\prime }}}(s_l^m,a_l^m),(1-ϵ)Q_{{\delta }^{{}^{\prime }}}(s_l^m,a_l^m))]$$对应的图示情况为

汇总起来以上两种情况，那么就相当于目标函数为
$$J_l^{PPO2}(\theta )=E_{a_l～{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(a_l|s_l)}[min(\frac{{\pi }_{\theta }(a_l|s_l)}{{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(a_l|s_l)}{Q}_{{\delta }^{{}^{\prime }}}(s_l^m,a_l^m),CLIP[\frac{{\pi }_{\theta }(a_l|s_l)}{{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(a_l|s_l)},(1+ϵ),(1-ϵ)]Q_{{\delta }^{{}^{\prime }}}(s_l^m,a_l^m))]$$
其中CLIP被定义为如下函数
$$CLIP[\frac{{\pi }_{\theta }(a_l|s_l)}{{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(a_l|s_l)},(1+ϵ),(1-ϵ)]$$
它代表着$\frac{{\pi }_{\theta }(a_l|s_l)}{{\pi }_{\theta }^{{}^{\prime }}(a_l|s_l)}$超过$(1+ϵ)$的部分被截断为$(1+ϵ)$,低于$(1-ϵ)$的部分被截断为$(1-ϵ)$。

3、总结

PPO思想还是很简单的，主要是针对Important-Sampling产生的不稳定性进行了CLIP操作和罚函数法，相比TRPO方法更简单容易实现，有了策略梯度的定义，可以结合其他Actor-Critic进行联合使用更新，并且PPO将策略梯度缺陷的on-policy变为了off-policy，更大可能的利用了采样样本，效率和速度都有了一定的提升。