本篇博客仅记录一下我个人思考的一点想法，方便以后回顾。并不严谨，希望给大家提供一点直观的理解。

通过上边的变形，我们可以看出$Ax$的本意就是用$x=[x_1{x}_2...x_n]$作为系数对$A$的列向量$[A_1{A}_2...A_n]$进行重新组合得到一个新向量。例如，我们从原点出发，先加上3倍的x轴单位向量$[1,0,0]$，再加上2倍的y轴单位向量$[0,1,0]$，最后再加上1倍的z轴单位向量$[0,0,1]$，最终运动到点$[3,2,1]处，$如下图所示：

上述这个例子表述成$Ax=b$的形式就是：

我们分别用$x=[3,2,1]$作为倍数 对 $A$的三个列向量$[1,0,0]、[0,1,0]、[0,0,1]$进行排列组合，组合得到的新向量就是$b$。

现在我们来看$Ax=0$的意思就是：从原点$[0,0,0]$出发，先加上$x_1$倍的$A$的列向量$A_1$，再加上$x_2$倍的$A$的列向量$A_2$，以此类推，当我们最后加上$x_n$倍的$A$的列向量$A_n$时，得到的新向量要回到原点$[0,0,0]$。这可不可能呢？

显然，当$A$为n阶满秩方阵时，$A$的n个列向量均线性无关，这时我们总能把A化成一个单位矩阵的形式。我们就把$A$作为单位矩阵来考虑，$A$的每一个列向量就代表一条坐标轴方向，一旦我们沿着x轴向前走一段距离后，y轴和z轴中是不存在x方向上的分量让我们再走回原点的。对于A的任何一个列向量都是这样，一旦对应的$x_n$不等于0，就等于沿着这条坐标轴走了一段距离，其他坐标轴是不可能再让你走回原点的。由此可知，只有$x=[x_1,x_2,...,x_n]$中的每一个分量都等于0，也就是压根不从原点出发，才可能使组合得到的新向量还在原点。

当$A$不满秩时，如秩为n-1，相当于$A$的列向量形成的线性空间中有n-1条正交基，这n-1条正交基相互是没有对方分量的，也就是走出原点之后是回不来的。但是第n条列向量是前边n-1条正交基的线性组合，是可以让你走回来的。所以x中的部分分量可以不为0，也就是左拐右拐最后可以走回原点，也即不满秩的时候可以有非零解。