主成分分析（Principal components analysis，以下简称PCA）是最重要的降维方法之一。
参考：http://www.cnblogs.com/pinard/p/6239403.html

PCA的思想

PCA顾名思义，就是找出数据里最主要的方面，用数据里最主要的方面来代替原始数据。具体的，假如我们的数据集是n维的，共有m个数据$(x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)})$。我们希望将这m个数据的维度从n维降到n’维，希望这m个n’维的数据集尽可能的代表原始数据集。我们知道数据从n维降到n’维肯定会有损失，但是我们希望损失尽可能的小。那么如何让这n’维的数据尽可能表示原来的数据呢？

我们先看看最简单的情况，也就是n=2，n’=1,也就是将数据从二维降维到一维。数据如下图。我们希望找到某一个维度方向，它可以代表这两个维度的数据。图中列了两个向量方向，$u_1$和$u_2$，那么哪个向量可以更好的代表原始数据集呢？从直观上也可以看出，$u_1$比$u_2$好。

为什么$u_1$比$u_2$好呢？有两种解释：

• 样本点到这个直线的距离足够近；
• 样本点在这个直线上的投影能尽可能的分开。

假如我们把n’从1维推广到任意维，则我们的希望降维的标准为：

• 样本点到这个超平面的距离足够近；
• 样本点在这个超平面上的投影能尽可能的分开。

基于上面的两种标准，我们可以得到PCA的两种等价推导。

投影介绍

参考：https://blog.csdn.net/u013719780/article/details/78352262

如上图所示，红色点表示原样本点$x^{(i)}$，在u上投影，u是蓝色直线的斜率也是直线的方向向量，而且是单位向量，直线上的蓝色点表示原样本点$x^{(i)}$在u上的投影。容易知道投影点离原点的距离是$x^{(i)}$，由于这些原始样本点的每一维特征均值都为0，因此投影到u上的样本点的均值仍然是0。

• 原样本点$x^{(i)}$
• 在u上投影
• 投影点离原点的距离是$x^{(i)T}u$

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• 原m个n维数据$(x^{(1)}, x^{(2)},...,x^{(m)})$进行中心化，即$\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}=0$
• 经过投影变换后得到的新坐标系为$\{w_1,w_2,...,w_n\}$丢弃新坐标系中的部分坐标，则新的坐标系为$\{w_1,w_2,...,w_{n'}\}$，其中$w$是标准正交基，即$||w||_2=1, w_i^Tw_j=0$
• 投影点的投影为$z^{(i)} = (z_1^{(i)}, z_2^{(i)},...,z_{n'}^{(i)})$，样本点在低维坐标系里第j维的坐标$z_j^{(i)} = w_j^Tx^{(i)}$

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• 如果我们用$z^{(i)}$来恢复原始数据$x^{(i)}$，则得到的恢复数据$\overline{x}^{(i)} = \sum\limits_{j=1}^{n’}z_j^{(i)}w_j = Wz^{(i)}$，其中，W为标准正交基组成的矩阵。

PCA的推导:基于最小投影距离

我们首先看第一种解释的推导，即样本点到这个超平面的距离足够近。
我们考虑整个样本集，我们希望所有的样本到这个超平面的距离足够近，即最小化下式：

$$\sum\limits_{i=1}^{m}||\overline{x}^{(i)} - x^{(i)}||_2^2$$ 将这个式子进行整理，可以得到:
$$\begin{align} \sum\limits_{i=1}^{m}||\overline{x}^{(i)} - x^{(i)}||_2^2 & = \sum\limits_{i=1}^{m}|| Wz^{(i)} - x^{(i)}||_2^2 \\& = \sum\limits_{i=1}^{m}(Wz^{(i)})^T(Wz^{(i)}) - 2\sum\limits_{i=1}^{m}(Wz^{(i)})^Tx^{(i)} + \sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)} \\& = \sum\limits_{i=1}^{m}z^{(i)T}z^{(i)} - 2\sum\limits_{i=1}^{m}z^{(i)T}W^Tx^{(i)} +\sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)} \\& = \sum\limits_{i=1}^{m}z^{(i)T}z^{(i)} - 2\sum\limits_{i=1}^{m}z^{(i)T}z^{(i)}+\sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)} \\& = - \sum\limits_{i=1}^{m}z^{(i)T}z^{(i)} + \sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)} \\& = -tr( W^T（\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}x^{(i)T})W) + \sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)} \\& = -tr( W^TXX^TW) + \sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)} \end{align}$$ 其中第（1）步用到了 $\overline{x}^{(i)}=Wz^{(i)}$，
第（2）步用到了平方和展开，
第（3）步用到了矩阵转置公式 $(AB)^T=B^TA^T$和 $W^TW=I$，
第（4）步用到了 $z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$，
第（5）步合并同类项，
第（6）步用到了 $z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$和矩阵的迹，
第（7）步将代数和表达为矩阵形式。

注意到，$\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}x^{(i)T}$是数据集的协方差矩阵，W的每一个向量$w_j$是标准正交基。而$\sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)}$是一个常量。最小化上式等价于：

$$\underbrace{arg\;min}_{W}\;-tr( W^TXX^TW) \;\;s.t. W^TW=I$$ 这个最小化不难，直接观察也可以发现最小值对应的W由协方差矩阵 $XX^T$最大的n’个特征值对应的特征向量组成。当然用数学推导也很容易。利用拉格朗日函数可以得到： $$J(W) = -tr( W^TXX^TW) + \lambda(W^TW-I)$$ 对W求导有 $$-XX^TW+\lambda W=0$$ 整理下即为： $$XX^TW=\lambda W$$ 这样可以更清楚的看出，W为 $XX^T$的n’个特征向量组成的矩阵，而 $\lambda$为 $XX^T$的特征值。当我们将数据集从n维降到n’维时，需要找到最大的n’个特征值对应的特征向量。这n’个特征向量组成的矩阵W即为我们需要的矩阵。对于原始数据集，我们只需要用 $z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$，就可以把原始数据集降维到最小投影距离的n’维数据集。

PCA的推导:基于最大投影方差

现在我们再来看看第二种，基于最大投影方差的推导。
对于任意一个样本$x^{(i)}$，在新的坐标系中的投影为$W^Tx^{(i)}$，在新坐标系中的投影方差为$W^Tx^{(i)}x^{(i)T}W$，要使所有的样本的投影方差和最大，也就是最大化$\sum\limits_{i=1}^{m}W^Tx^{(i)}x^{(i)T}W$，即：

$$\underbrace{arg\;max}_{W}\;tr( W^TXX^TW) \;\;s.t. W^TW=I$$ 观察上一节的基于最小投影距离的优化目标，可以发现完全一样，只是一个是加负号的最小化，一个是最大化。

PCA算法流程

从上面两节我们可以看出，求样本$x^{(i)}$的n’维的主成分其实就是求样本集的协方差矩阵$XX^T$的前n’个特征值对应特征向量矩阵W，然后对于每个样本$x^{(i)}$，做如下变换$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$，即达到降维的PCA目的。

下面我们看看具体的算法流程：

输入：n维样本集$D=(x^{(1)}, x^{(2)},...,x^{(m)})$，要降维到的维数n’.
输出：降维后的样本集D′
　　　　
1. 对所有的样本进行中心化：$x^{(i)} = x^{(i)} - \frac{1}{m}\sum\limits_{j=1}^{m} x^{(j)}$
　　　　
2. 计算样本的协方差矩阵$XX^T$
　　　　
3. 对矩阵$XX^T$进行特征值分解
　　　　
4. 取出最大的n’个特征值对应的特征向量$(w_1,w_2,...,w_{n'})$,将所有的特征向量标准化后，组成特征向量矩阵W。
　　　　
5. 对样本集中的每一个样本$x^{(i)}$，转化为新的样本$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$
　　　　
6. 得到输出样本集$D' =(z^{(1)}, z^{(2)},...,z^{(m)})$

有时候，我们不指定降维后的n’的值，而是换种方式，指定一个降维到的主成分比重阈值t。这个阈值t在（0,1]之间。假如我们的n个特征值为$\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq ... \geq \lambda_n$，则n’可以通过下式得到：

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n'}\lambda_i}{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i} \geq t$$

PCA算法总结

这里对PCA算法做一个总结。作为一个非监督学习的降维方法，它只需要特征值分解，就可以对数据进行压缩，去噪。因此在实际场景应用很广泛。为了克服PCA的一些缺点，出现了很多PCA的变种，比如为解决非线性降维的KPCA，还有解决内存限制的增量PCA方法Incremental PCA，以及解决稀疏数据降维的PCA方法Sparse PCA等。

PCA算法的主要优点有：

1. 仅仅需要以方差衡量信息量，不受数据集以外的因素影响。
2. 各主成分之间正交，可消除原始数据成分间的相互影响的因素。
3. 计算方法简单，主要运算是特征值分解，易于实现。

PCA算法的主要缺点有：

1. 主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性，不如原始样本特征的解释性强。
2. 方差小的非主成分也可能含有对样本差异的重要信息，因降维丢弃可能对后续数据处理有影响。

核主成分分析KPCA介绍

在上面的PCA算法中，我们假设存在一个线性的超平面，可以让我们对数据进行投影。但是有些时候，数据不是线性的，不能直接进行PCA降维。这里就需要用到和SVM一样的核函数的思想，先把数据集从n维映射到线性可分的高维N>n,然后再从N维降维到一个低维度n’, 这里的维度之间满足$n'<n<N$.

使用了核函数的主成分分析一般称之为核主成分分析(Kernelized PCA, 以下简称KPCA。假设高维空间的数据是由n维空间的数据通过映射$\phi$产生。

则对于n维空间的特征分解：

$$\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}x^{(i)T}W=\lambda W$$ 映射为： $$\sum\limits_{i=1}^{m}\phi(x^{(i)})\phi(x^{(i)})^TW=\lambda W$$
通过在高维空间进行协方差矩阵的特征值分解，然后用和PCA一样的方法进行降维。一般来说，映射 $\phi$不用显式的计算，而是在需要计算的时候通过核函数完成。由于KPCA需要核函数的运算，因此它的计算量要比PCA大很多。