z变换

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基本公式

$$\begin{gathered} 单边z变换：X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x(n)z^{-n} \\ 双边z变换：X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n} \\ X(z)也叫x(n)的生成函数 \\ z平面上： \\ 左边序列收敛域朝原点， \\ 右边序列收敛域朝无穷远点， \\ 双边序列收敛域为圆环， \\ 有限长序列收敛域为整个z平面 \\ z平面自带周期性 \\ 体现了时域频域“离散”与“周期”的对称性 \end{gathered}$$

常用公式

https://blog.csdn.net/lafea/article/details/118651638

基本性质

序号	解释
线性	$$ax(n)+by(n)\leftrightarrow aX(z)+bY(z)$$
双边位移	$$\mathcal{Z}[x(n+m)]=z^{m}X(z)$$
单边(右边)位移	$$\begin{gathered} 左位移：\mathcal{Z}[x(n+m)u(n)]=z^m[X(z)-\sum _{k=0}^{m-1}x(k)z^{-k}] \\ 右位移：\mathcal{Z}[x(n-m)u(n)]=z^{-m}[X(z)+\sum _{k=-m}^{-1}x(k)z^{-k}] \end{gathered}$$
序列线性加权(微分)	$$n^{m}x(n)\leftrightarrow [-z\frac{d}{dz}{]}^{m}X(z)$$
序列指数加权(尺度变换)	$$a^{n}x(n)\leftrightarrow X(\frac{z}{a})$$
初值定理	$$\begin{gathered} 若x(n)为因果序列，则 \\ x(0)=\underset{z\to \infty }{\lim }X(z) \end{gathered}$$
终值定理	$$\begin{gathered} 若x(n)为因果序列，且n\to \infty x(n)收敛，则 \\ \underset{n\to \infty }{\lim }x(n)=\underset{z\to 1}{\lim }(z-1)X(z) \end{gathered}$$

其他公式

卷积定理

$$\begin{gathered} \mathcal{Z}[x(n)\ast h(n)]=X(z)\cdot H(z) \\ \mathcal{Z}[x(n)h(n)]=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_{c}X(v)H(\frac{z}{v})\frac{1}{v}dv \\ 用留数法，则看收敛域内包围的极点 \end{gathered}$$

与s平面的关系

• $z=e^{sT}$
• s平面虚轴映射为z平面的单位圆
• s平面左半平面映射为z平面单位圆内
• s平面右半平面映射为z平面单位圆外
• z平面上一个点可对应s平面上无穷多个点，周期为2$\pi$

其他一些说明