1. 积分基本概念

设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分(indefinite integral)。

非线性微分方程:

在有限的时间间隔Δt积分:

在这里插入图片描述

连续时间内积分:

在这里插入图片描述

工程上最常见的有三种：欧拉积分（Euler method）、中值积分（Midpoint method）和龙格－库塔法积分（Runge–Kutta methods）。他们的区别就是如何用数值方法模拟一个斜率。这里简单总结如下：

2. 欧拉积分

设有如下微分方程：

欧拉方法假设导数在区间内是恒定的，作为一般的RK方法，这对应于单阶段方法，计算初始点的导数，并用它来计算终点的积分值

在这里插入图片描述

3. 中值积分

中值积分法假设导数是间隔中点的导数，并进行一次迭代来计算此中点的fx值。

设有如下微分方程：

欧拉积分与中值积分都是一阶近似并没有本质不同，二者只是一阶导数所取位置不同，他们的性能也有差别，如下图所示，作为一阶积分近似方法来讲，中点积分有时会稍好一些（带来更快的收敛速度）。

$图示为方程 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">y'=y, y(0)=1</span> 的数值积分。蓝色为欧拉法，绿色为中点法，红色为精确解 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">y=e^{t}</span>。所用步长为 h=1.0。$

4.RK4积分(4阶龙格库塔法)

龙格－库塔法（Runge-Kutta methods）是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。在工程中最常用的是四阶龙格－库塔积分，也就是 RK4 积分，它的计算方式如下：

设有如下微分方程：

其中：

k1 是时间段开始时的斜率；
k2 是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn + h/2的值；
k3 也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值；
k4 是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。
其数学公式如下：

从公式中可以看出两个中点的斜率具有更大的权重。龙格－库塔法的示意图如下，它也是一种更高阶的逼近方法，通常也具有更好的逼近效果，总累计误差为 Δt4 阶。

Runge-Kutta4假定评估值，对于 f()在间隔的开始，中点，中点的中点和结束。它使用四个阶段迭代计算积分，用四个导数k 1~k 4，顺序获得。然后对这些导数进行加权平均，以获得4阶估计值间隔中的导数。
RK4方法更好地指定为一个小算法而不是一步式公式。

龙格-库塔方法的推导基于Taylor展开方法，因而它要求所求的解具有较好的光滑性。如果解的光滑性差，那么，使用四阶龙格-库塔方法求得的数值解，其精度可能反而不如改进的欧拉方法。在实际计算时，应正对问题的具体特点选择适合的算法。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长取小。

参考代码

 
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"void RKT(t,y,n,h,k,z)
int n;              /*微分方程组中方程的个数，也是未知函数的个数*/
int k;              /*积分的步数(包括起始点这一步)*/
double t;           /*积分的起始点t0*/
double h;           /*积分的步长*/
double y[];         /*存放n个未知函数在起始点t处的函数值,返回时,其初值在二维数组z的第零列中*/
double z[];         /*二维数组,体积为n x k.返回k个积分点上的n个未知函数值*/
{extern void Func();             /*声明要求解的微分方程组*/int i,j,l;double a[4],*b,*d;b=malloc(n*sizeof(double));     /*分配存储空间*/if(b == NULL){printf("内存分配失败\n");exit(1);}d=malloc(n*sizeof(double));     /*分配存储空间*/if(d == NULL){printf("内存分配失败\n");exit(1);}/*后面应用RK4公式中用到的系数*/a[0]=h/2.0;                     a[1]=h/2.0;a[2]=h; a[3]=h;for(i=0; i<=n-1; i++) z[i*k]=y[i];                /*将初值赋给数组z的相应位置*/for(l=1; l<=k-1; l++){Func(y,d);for (i=0; i<=n-1; i++)b[i]=y[i];for (j=0; j<=2; j++){for (i=0; i<=n-1; i++){y[i]=z[i*k+l-1]+a[j]*d[i];b[i]=b[i]+a[j+1]*d[i]/3.0;}Func(y,d);}for(i=0; i<=n-1; i++)y[i]=b[i]+h*d[i]/6.0;for(i=0; i<=n-1; i++)z[i*k+l]=y[i];t=t+h;}free(b);            /*释放存储空间*/free(d);            /*释放存储空间*/return;
}
main()
{int i,j;double t,h,y[3],z[3][11];y[0]=-1.0; y[1]=0.0; y[2]=1.0;t=0.0; h=0.01;RKT(t,y,3,h,11,z);printf("\n");for (i=0; i<=10; i++)           /*打印输出结果*/{t=i*h;printf("t=%5.2f\t   ",t);for (j=0; j<=2; j++)printf("y(%d)=%e  ",j,z[j][i]);printf("\n");}
}void Func(y,d)
double y[],d[];
{d[0]=y[1];      /*y0'=y1*/d[1]=-y[0];     /*y1'=y0*/d[2]=-y[2];     /*y2'=y2*/return;
}

参考文章附录A:四元数误差状态卡尔曼滤波
参考亮哥的博客说明:http://www.xinliang-zhong.vip/msckf_notes/