逻辑回归

1.介绍

逻辑回归假设数据服从伯努利分布，通过极大化似然函数的方法，运用梯队下降来求解参数，来达到将数据二分类的目的。

2.逻辑回归的损失函数和梯度下降参数迭代方法

• 逻辑回归的损失函数是它的极大似然函数

• 参数迭代方法

3.逻辑回归为什么使用对数损失而不用平方损失

损失函数一般有四种，平方损失函数，对数损失函数，HingeLoss0-1损失函数，绝对值损失函数。

将极大似然函数取对数以后等同于对数损失函数。在逻辑回归这个模型下，对数损失函数的训练求解参数的速度是比较快的。至于原因大家可以求出这个式子的梯度更新

这个式子的更新速度只和xij，yi相关。和sigmod函数本身的梯度是无关的。这样更新的速度是可以自始至终都比较的稳定。

为什么不选平方损失函数的呢？

其一是因为如果你使用平方损失函数，你会发现梯度更新的速度和sigmod函数本身的梯度是很相关的。sigmod函数它在定义域内的梯度都不大于0.25，这样训练会非常的慢。

4.逻辑回归在训练的过程中，如果有很多的特征高度相关或者说有一个特征重复了很多遍，会造成怎样的影响

如果在损失函数最终收敛的情况下，其实就算有很多特征高度相关也不会影响分类器的效果。 但是对特征本身来说的话，假设只有一个特征，在不考虑采样的情况下，你现在将它重复 100 遍。训练完以后，数据还是这么多，但是这个特征本身重复了 100 遍，实质上将原来的特征分成了 100 份，每一个特征都是原来特征权重值的百分之一。如果在随机采样的情况下，其实训练收敛完以后，还是可以认为这100个特征和原来那一个特征扮演的效果一样，只是可能中间很多特征的值正负相消了。

5.为什么在训练过程中将高度相关的特征去掉

• 1.去掉高度相关的特征会让模型的可解释性更好
• 2.可以大大提高训练的速度。如果模型当中有很多特征高度相关的话，就算损失函数本身收敛了，但实际上参数是没有收敛的，这样会拉低训练的速度。其次是特征多了，本身就会增大训练的时间。

6.逻辑回归为什么要对特征进行离散化

https://blog.csdn.net/yang090510118/article/details/39478033
在工业界，很少直接将连续值作为特征喂给逻辑回归模型，而是将连续特征离散化为一系列0、1特征交给逻辑回归模型，这样做的优势有以下几点：

1. 稀疏向量内积乘法运算速度快，计算结果方便存储，容易scalable（扩展）。
2. 离散化后的特征对异常数据有很强的鲁棒性：比如一个特征是年龄>30是1，否则0。如果特征没有离散化，一个异常数据“年龄300岁”会给模型造成很大的干扰。
3. 逻辑回归属于广义线性模型，表达能力受限；单变量离散化为N个后，每个变量有单独的权重，相当于为模型引入了非线性，能够提升模型表达能力，加大拟合。
4. 离散化后可以进行特征交叉，由M+N个变量变为M*N个变量，进一步引入非线性，提升表达能力。
5. 特征离散化后，模型会更稳定，比如如果对用户年龄离散化，20-30作为一个区间，不会因为一个用户年龄长了一岁就变成一个完全不同的人。当然处于区间相邻处的样本会刚好相反，所以怎么划分区间是门学问。
   李沐少帅指出，模型是使用离散特征还是连续特征，其实是一个“海量离散特征+简单模型” 同 “少量连续特征+复杂模型”的权衡。既可以离散化用线性模型，也可以用连续特征加深度学习。就看是喜欢折腾特征还是折腾模型了。通常来说，前者容易，而且可以n个人一起并行做，有成功经验；后者目前看很赞，能走多远还须拭目以待。
   大概的理解：
   1）计算简单
   2）简化模型
   3）增强模型的泛化能力，不易受噪声的影响

7.逻辑回归模型中，为什么常常要做特征组合（特征交叉）

逻辑回归模型属于线性模型，线性模型不能很好处理非线性特征，特征组合可以引入非线性特征，提升模型的表达能力。另外，基本特征可以认为是全局建模，组合特征更加精细，是个性化建模，但对全局建模会对部分样本有偏，对每一个样本建模又会导致数据爆炸，过拟合，所以基本特征+特征组合兼顾了全局和个性化。

8.逻辑回归和线性回归

• 逻辑回归是一种广义线性模型，它引入了Sigmod函数，是非线性模型，但本质上还是一个线性回归模型，因为除去Sigmod函数映射关系，其他的算法原理，步骤都是线性回归的。
• 逻辑回归和线性回归首先都是广义的线性回归，在本质上没多大区别，区别在于逻辑回归多了个Sigmod函数，使样本映射到[0,1]之间的数值，从而来处理分类问题。另外逻辑回归是假设变量服从伯努利分布，线性回归假设变量服从高斯分布。逻辑回归输出的是离散型变量，用于分类，线性回归输出的是连续性的，用于预测。逻辑回归是用最大似然法去计算预测函数中的最优参数值，而线性回归是用最小二乘法去对自变量因变量关系进行拟合。

9.正则化

• 过拟合

  过拟合表现在训练数据上的误差非常小，而在测试数据上误差反而增大。原因是模型过于复杂，过分的去拟合数据的噪声。

  正则化项是对模型参数添加先验，使得模型复杂度较小，对于噪声扰动相对较小。

• 防止过拟合

  在目标函数或代价函数后面加上一个正则项，一般有L1正则与L2正则。

• L1正则和L2正则

  • 相同点：都用于避免过拟合

  • 不同点：

    • 1.两者引入的关于模型参数的先验条件不一样，L1是拉普拉斯分布，L2是正态分布。

    • 2.L1偏向于使模型参数变得稀疏（但实际上并不那么容易），L2偏向于使模型每一个参数都很小，但是更加稠密，从而防止过拟合。

上图中的模型是线性回归，有两个特征，要优化的参数分别是w1和w2，左图的正则化是L2，右图是L1。蓝色线就是优化过程中遇到的等高线，一圈代表一个目标函数值，圆心就是样本观测值（假设一个样本），半径就是误差值，受限条件就是红色边界（就是正则化那部分），二者相交处，才是最优参数。可见右边的最优参数只可能在坐标轴上，所以就会出现0权重参数，使得模型稀疏。

10.梯度下降法

• 1.批量梯度下降法BGD

  在更新参数时使用所有的样本来进行更新

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• 随机梯度下降法SGD

  和批量梯度下降法原理类似，区别在于求梯度时没有用所有的m个样本的数据，而是仅仅选取一个样本j来求梯度。

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• 小批量梯度下降法MBGD

  是SGD和BGD的折中，即对于m个样本，采用x个子样本来迭代，1<x<m。一般可以取x=10，根据样本的数据，调整这个x的值。

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• 总结

  • 1.BGD会获得全局最优解，缺点是在更新每个参数的时候需要遍历所有的数据，计算量会很大，并且会有很多的冗余计算，导致的结果是当数据量大的时候，每个参数的更新都会很慢
  • 2.SGD以高方差频繁更新，优点是使得SGD会跳到新的和潜在的更好的局部最优解，缺点是使得收敛到局部最优解的过程更加的复杂
  • 3.MBGD结合了BGD和SGD的优点，每次更新的时候使用n个样本。减少了参数更新的次数，可以达到更加稳定收敛结果，一般在深度学习当中可以采用这种方法，将数据一个batch一个batch的送进去训练。

11.工程上，怎么实现LR的并行化？有哪些并行化的工具

逻辑回归的并行化最主要的就是对目标函数梯度计算的并行化。

算法的并行化有两种：

• 1.无损的并行化：算法天然可以并行，并行只是提高了计算的速度和解决问题的规模，但和正常执行的结果是一样的。
• 2.有损的并行化：算法本身不是天然并行的，需要对算法做一些近似来实现并行化，这样并行化之后的双方和正常执行的结果并不一致，但是相似的。

基于Batch的算法(Batch-GD, LBFGS, OWLQN)都是可以进行无损的并行化的。而基于SGD的算法（Ad Predictor， FTRL－Proximal）都只能进行有损的并行化。

并行化的工具MPI和OpenMP。

12.逻辑回归的优缺点

• 优点
  • 1.形式简单，模型的可解释性非常好。从特征的权重可以看到不同的特征对最后结果的影响，某个特征的权重值比较高，那么这个特征最后对结果的影响会比较大
  • 2.逻辑回归的对率函数是任意阶可导函数，数学性质好，易于优化
  • 3.逻辑回归不仅可以预测类别，还可以得到近似的概率预测
  • 4.模型效果不错。在工程上是可以接受的（作为baseline），如果特征工程做得好，效果不会太差，并且特征工程可以大家并行开发，大大加快开发的速度
  • 训练速度较快。分类的时候，计算量仅仅只和特征的数目有关。并且逻辑回归的分布式优化sgd发展比较成熟，训练的速度可以通过堆机器进一步提高，这样我们可以在短时间内迭代好几个版本的模型
  • 方便输出结果调整。逻辑回归可以很方便的得到最后的分类效果，因为输出的是每个样本的概率分数，我们可以很容易的对这些概率分数进行cut off，也就是划分阈值（大于某个阈值的是一类，小于某个阈值的是一类）
• 缺点
  • 1.准确率并不是很高。因为形式非常的简单（非常类似线性模型），很难去拟合数据的真实分布
  • 2.很难处理数据不平衡的问题。比如：如果我们对于一个正负样本非常不平衡的问题比如正负样本比10000:1。我们把所有样本都预测为正也能使损失函数的值比较小，但是作为一个分类器，它对正负样本的区分能力不会很好
  • 3.处理非线性数据较麻烦，逻辑回归在不引入其他方法的情况下，只能处理线性可分的数据
  • 4.逻辑回归本身无法筛选特征。有时候，我们会用gbdt来筛选特征，然后再上逻辑回归。

13.LR与SVM的关系

• 相同点
  • 1.都是有监督分类方法，判别模型（直接估计y=f(x)或p(y|x))
  • 2.都是线性分类方法（指不用核函数的情况）
• 不同点
  • 1.loss不同。LR是交叉熵，SVM是Hinge loss，最大化函数间隔
  • 2.LR决策考虑所有样本点，SVM决策仅仅取决于支持向量
  • 3.LR受数据分布影响，尤其是样本不均衡时影响大，要先做平衡，SVM不直接依赖于分布
  • 4.LR可以产生概率，SVM不能
  • 5.LR是经验风险最小化，需要另外加正则，SVM自带结构风险最小化不需要加正则项
  • 6.LR每两个点之间都要做内积，而SVM只需要计算样本和支持向量的内积，计算量更小