已知

直线1：直线任意一点$P_1$直线方向$V_1$ (单位向量)
直线2：直线任意一点$P_2$直线方向$V_2$ (单位向量)

求解过程

需要用到点到直线的距离和垂足相关内容，参考 这里
下文中 $\cdot$代表点乘 $\ast$代表乘 $\times$代表叉乘。
首先判断是否平行 $V_1==V_2$ （如果写程序需要注意误差）

• 如果平行
  就利用点到直线的距离方法计算$P_1$到直线2的距离就可以，公垂线有无数个，看你怎么定义了
• 不平行
  判断是否相交$(V_1\times V_2)\cdot (P_2-P_1)==0$
  • 相交 直接就是0 公垂线退化为一个点
  • 不相交
    我们假设公垂线与直线2的交点为 $P_{p2}=P_2+K_2\ast V_2$
    根据点到直线距离里面的垂足公式，可以得到过$P_{p2}$与直线1对应的垂足表达式(也就是公垂线的另一个点)
    $P_{p1}=P_1+[(P_{p2}-P_1)\cdot V_1]\ast V1$
    即 $P_{p1}=P_1+[(P_2+K_2\ast V_2-P_1)\cdot V_1]\ast V1$
    向量$P_{p1}-P_{p2}$同时与$V_2$垂直
    所以可以列出方程
    $(P_{p1}-P_{p2})\cdot V_2=0$
    即
    $(P_1+[(P_{p2}-P_1)\cdot V_1]\ast V1-P_{p2})\cdot V_2=0$
    $(P_1+[(P_2+K_2\ast V_2-P_1)\cdot V_1]\ast V1-P_2-K_2\ast V_2)\cdot V_2=0$
    整理得到

    $K_2=\frac{(P_1-P_2+((P_2-P_1)\cdot V_1)\ast V_1)\cdot V_2}{V_2\cdot V_2-(V_1\cdot V_2)\ast (V_2\cdot V_1)}$

    由于方向都是单位向量式中$V_2\cdot V_2=1$可以减少一次点乘运算
    有了$K_2$其他就都可以求出了

补充
如果只需要求解距离，可以通过两个直线方向的叉乘获得公垂线方向，再利用向量$P_1-P_2$与公垂线方向的单位向量的点积，即可获得距离。