局部线性嵌入(Locally Linear Embedding，以下简称LLE)也是非常重要的降维方法。和传统的PCA，LDA等关注样本方差的降维方法相比，LLE关注于降维时保持样本局部的线性特征，由于LLE在降维时保持了样本的局部特征，它广泛的用于图像图像识别，高维数据可视化等领域。下面我们就对LLE的原理做一个总结。

1. 流形学习概述

　　　　LLE属于流形学习(Manifold Learning)的一种。因此我们首先看看什么是流形学习。流形学习是一大类基于流形的框架。数学意义上的流形比较抽象，不过我们可以认为LLE中的流形是一个不闭合的曲面。这个流形曲面有数据分布比较均匀，且比较稠密的特征，有点像流水的味道。基于流行的降维算法就是将流形从高维到低维的降维过程，在降维的过程中我们希望流形在高维的一些特征可以得到保留。

　　　　一个形象的流形降维过程如下图。我们有一块卷起来的布，我们希望将其展开到一个二维平面，我们希望展开后的布能够在局部保持布结构的特征，其实也就是将其展开的过程，就想两个人将其拉开一样。

　　　　在局部保持布结构的特征，或者说数据特征的方法有很多种，不同的保持方法对应不同的流形算法。比如等距映射（ISOMAP）算法在降维后希望保持样本之间的测地距离而不是欧式距离，因为测地距离更能反映样本之间在流形中的真实距离。

　　　　但是等距映射算法有一个问题就是他要找所有样本全局的最优解，当数据量很大，样本维度很高时，计算非常的耗时，鉴于这个问题，LLE通过放弃所有样本全局最优的降维，只是通过保证局部最优来降维。同时假设样本集在局部是满足线性关系的，进一步减少的降维的计算量。

2. LLE思想

　　　　现在我们来看看LLE的算法思想。

　　　　LLE首先假设数据在较小的局部是线性的，也就是说，某一个数据可以由它邻域中的几个样本来线性表示。比如我们有一个样本 x1 x1,我们在它的原始高维邻域里用K-近邻思想找到和它最近的三个样本 x2,x3,x4 x2,x3,x4. 然后我们假设 x1 x1可以由 x2,x3,x4 x2,x3,x4线性表示，即：

　　　　其中， w12，w13，w14 w12，w13，w14为权重系数。在我们通过LLE降维后，我们希望 x1 x1在低维空间对应的投影 x′1 x1′和 x2,x3,x4 x2,x3,x4对应的投影 x′2,x′3,x′4 x2′,x3′,x4′也尽量保持同样的线性关系，即

　　　　也就是说，投影前后线性关系的权重系数 w12，w13，w14 w12，w13，w14是尽量不变或者最小改变的。

　　　　从上面可以看出，线性关系只在样本的附近起作用，离样本远的样本对局部的线性关系没有影响，因此降维的复杂度降低了很多。

　　　　下面我们推导LLE算法的过程。

3. LLE算法推导

　　　　对于LLE算法，我们首先要确定邻域大小的选择，即我们需要多少个邻域样本来线性表示某个样本。假设这个值为k。我们可以通过和KNN一样的思想通过距离度量比如欧式距离来选择某样本的k个最近邻。

　　　　在寻找到某个样本的 xi xi的k个最近邻之后我们就需要找到找到 xi xi和这k个最近邻之间的线性关系，也就是要找到线性关系的权重系数。找线性关系，这显然是一个回归问题。假设我们有m个n维样本 {x1,x2,...,xm} {x1,x2,...,xm},我们可以用均方差作为回归问题的损失函数：即：

　　　　一般我们也会对权重系数 wij wij做归一化的限制，即权重系数需要满足