COMSOL Multiphysics[1]（下称COMSOL），以有限元法为基础，通过求解偏微分方程（单场）或偏微分方程组（多场）来实现真实物理现象的仿真。COMSOL最先是MATLAB的一个工具箱FEMLAB，发展至今已具有一个基本模块和八个专业模块，此学习系列主要关注基本模块，也即是数学模块的使用学习。

COMSOL的优势在于其使用有限元法求解偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE），相比于有限差分法和谱方法求解偏微分方程，可以考虑更加复杂的几何结构和复杂的边界条件。此外，COMSOL软件与MATLAB等软件有完整的接口，便于模拟仿真数据的后处理。

COMSOL数学模块PDE主要分为三种类型：系数形式（Coefficient form），一般形式（General form），弱形式（Weak form），使用难度依次增大，同时求解PDE的适用范围也相应增大。其中系数形式与一般形式较好理解，而弱形式需要相关有限元的知识，COMSOL求解也会将PDE转化为弱形式。相关的有限元参考书籍推荐 A First Course in Finite Elements，by Jacob Fish and Ted Belytschko。这一小节主要使用系数形式求解PDE，以二维热传导为例。

热传导方程的可以写为[2]：

$$\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}-\triangledown\cdot(k\triangledown T)=\dot q_v$$
在这里假设 $k=constant, \dot q_v=0$，同时引进参数 $\alpha=\frac{k}{\rho c_p}$ 并在下文约定 $\alpha=1$，方程简化为：
$$\frac{\partial T(x,y,t)}{\partial t}=\alpha\triangledown^2 T(x,y,t)$$

接下来，开始建立模型：
1.打开COMSOL，在 Model Wizard 里选择 2D 模型，接着选择 Mathematical 模块（Physics Interface）里的 Coefficient Form PDE (c) 以及选择 Study 里的 Time Dependent，建立模型。

2.创建几何形状，右键点击 Geometry 并选择 Rectangle，输入矩形尺寸参数，再点击 Bulid All Objects，建立如图矩形区域。

3.输入方程相应的系数，如图所示。

4.设定边界条件，这里右键点击 Coefficient Form PDE (c) 选择使用 Dirichlet Boundary Condition，点击选择矩形区域左边界，设定相应的参数 T=1 （$r=1$）。

5.离散网格，使用缺省的网格，点击 Mesh 选项下的 Bulid All。

6.点击 Study 选项下的 Step 1: Time Depend 设定求解的时间域，如图所示。

7.完成模型的建立，求解模型，右键点击 Study 并 Compute，得到计算结果。保存在 Result 选项下的 Data Sets，并可以通过 2D Plot Group 查看结果。

同时还可以导出动画。