五分钟了解先验概率和后验概率

本文摘自我的公众号【车子的心智探索】
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不理解先验概率和后验概率？莫慌，本文可以帮你。

从面积的角度看概率

在说正题之前，咱们从面积的角度认识一下概率。

拿掷骰子来说，每个点的概率是相等的，因为总概率是 1，所以每个点数的概率是 1/6。我们用格子的大小来表示概率，那么掷骰子的概率图是这样的：

如果把掷出的点数小于等于 4 记作事件 F，问你 P(F) 等于多少，你会说等于 4/6 = 2/3.

如果用面积图来算呢？把对应点数的面积加起来就可以。

四个方块的面积之和 = 1/6 * 4 = 2/3

某种可能性消失

我洗好了 52 张扑克牌摆在你面前，扑克牌背面朝上。如果我问你，最上面这张是黑桃的概率是多少？你肯定会说四分之一。因为扑克牌共有四种花色，每一种花色的可能性都是相等的。

但是，我趁你不注意的时候偷看了一眼最上面的牌，然后告诉你这张牌是黑色的。这时候我再问你，最上面这张是黑桃的概率是多少？

因为已经确定花色是黑色，所以红桃或方块的可能性不存在了，只有可能是黑桃或梅花，所以，你推测这张牌是黑桃的概率为二分之一。

画图解释就是：

从面积角度看，整个过程是这样的：

当得知花色是黑色的时候，表示红桃和方块的两个方形不见了，只剩下黑桃和梅花，因为概率之和总是 1，所以把它们各自的面积向上伸展，直到总和为 1。注意，在伸展的同时要保持黑桃和梅花的面积比例不变，于是结果就是各占 1/2。

当然，也可以更简单，既然要保持黑桃和梅花的面积比例不变，不妨假设都伸展 k 倍。

$$\frac{黑桃的面积}{总面积}=\frac{\frac{1}{4}k}{\frac{1}{4}k+\frac{1}{4}k}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$$

又因为总面积为 1，所以黑桃的面积是 1/2.

好了，进入正题。

先验概率与后验概率

看这样一个问题：

假设某种癌症的患病率为0.1%（0.001）。有一个简易的方法能够检查出是否患病，但是不能百分之百检查出——患上这种癌症的人中有 95%（0.95）的概率被诊断为阳性；另一方面，健康人群也有 2%（0.02）的可能性被误诊为阳性。如果你的检查结果是阳性，请问你实际患上这种癌症的概率为多少？

这里的患病率就是先验概率。

如果要在检查前推测自己是否罹患这种癌症，概率图如下。左侧条形的面积是 0.001，右侧矩形的面积是 0.999，分别表示得癌症的概率和健康的概率。

通过流行病学数据可知，这种癌症的罹患率为 0.001。也就是说，1000 人中有 1 人罹患这种癌症。在没有任何个人信息的情况下，你属于图中左侧世界的概率是 0.001，属于右侧世界的概率是 0.999。

按照题目信息，可以制作一个表格。

先看癌症患者这行，在患癌症的情况下，检查结果呈阳性的概率为 0.95。也就是说，如果你真得了癌症，能检查出来的概率为 95%。还有 5% 的概率查不出来。

再看健康者这行，如果你是健康人，那么误诊为阳性的概率为 2%，准确诊断为阴性的概率是 98%。

所以，检查存在着误诊的风险。所谓的风险包含以下两种情况：

1. 身患癌症，却诊断没有患病
2. 健康，却误诊为患病

在前面那张图的基础上，我们可以根据阳性率和阴性率继续分割。

左侧是患癌症这一类别，把这个条形按照面积之比 0.95：0.05 来分割 ，那么患癌呈阳性的概率是 0.001*0.95；同理，可以算出其他三部分的概率（面积）。

当你做完检查，肯定属于以下四种可能性中的一种：

1. 患癌并呈现阳性（左上区域）
2. 患癌并呈现阴性（左下区域）
3. 健康并呈现阳性（右上区域）
4. 健康并呈现阴性（右下区域）

再回到原题，你的检查结果呈阳性，于是之前的 4 种情况就变成 2 种了。

同前面扑克牌问题的计算方法类似，你患癌症的概率是 0.095% ÷ （0.095% + 1.998%）= 0.045（保留三位小数）。

从这个结果可知，在得知阳性这一检查结果的情况下，你罹患这种癌症的概率约为 4.5% ，这便是后验概率。

频率树的方法

还有一种方法值得介绍，就是频率树。假设总人口是 10 万人，根据各种情况，最后可以生成一棵树。

是不是这种方法更直观呢？

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参考资料
小岛宽之.(2018).统计学关我什么事:生活中的极简统计学.北京时代华文书局.