在介绍Good-Turning Smoothing之前，我们可以先看一个有趣的例子：
假设你在钓鱼，已经抓到了18只鱼：
10条鲤鱼，3条黑鱼，2条刀鱼，1条鲨鱼，1条草鱼，1条鳗鱼…
Q1：下一个钓到的鱼是鲨鱼的概率是多少？
Q2：下一条鱼是新鱼种（之前没有出现过）的概率是多少？
Q3：既然如此，重新想一下，下一条抓到鱼为鲨鱼的概率是多少？
我们在看到Q1时，可以很简单的算出Q1结果为 1/18.
但是到了Q2，此时概率是无法计算的，所以我们便可以在此引出Good-Turning。在Good-Turning方法论中，我们会假设未出现过的鱼种的概率与出现一次的鱼种的概率相同，即N_0 = N_1 (N_k表示出现k次的元素的总数)，在上面的例子中N_10=1,N_3=1,N_2=1,N_1=3。
然后我们回到Q2，此时Q2的结果也为3/18，即1/6。
然后我们继续看Q3，因为没有出现的鱼种出现的概率有1/6，所以Q1的结果，应该小于1/18。
在Good-Turning方法论中，当我们要求一个元素c出现的概率时,会先计算:
然后再通过原本的概率算出新的概率，即P(鲨鱼)=(1+1) * 1/3 * (1/18) = 1/27
接下来可以拿实际使用的场景距离，再次进行推导：
假如我们有一个长度我c的词库，每次从中抽出1个次，由训练集放入验证集中，循环c次获得了c个训练数据。
在Q1中，因为只有出现1次的单词，从训练数据集中拿出后，就不会再出现了，所以Q1的结果为 N_1/C。
同理，我们需要单词在训练集中出现K次，则拿过来的单词原本应该出现K+1次，所以Q2的结果应该是N_(K+1)(K+1)/C。
再继续，假如此时我们只需要求得其中1个单词出现K次的概率，则再Q2中，分母上乘以一个N_k就可以了，即N_(K+1)(K+1)/(CN_k)。
我们在拉普拉斯平滑中，知道平滑向是：
但是此时的1,是一个频次，然后我们上面算出来的是一个概率，要将概率转换为频次，即乘以一个C(词库大小)就可以了，即N_(K+1)(K+1)/*N_k，与前面得到的结果一致
下面是一个实际的词频统计的例子：
第一列是单词出现次数，第二列是出现r次的单词的数量，第三列是我们的期望概率
其中，第三列的期望概率就是通过上述结论计算出来的，例如：
P(1) = (1+1)*263611/1132844 = 0.46539
P(2) = (2+1)*123615/263611 = 1.40679
最后讲一下这个方法论的缺点：
从上图中也可以看出，当单词出现次数慢慢增大时，r值并不是连续性的，但是每一个P®的计算都依赖于r+1的count值。
简单的解决方案是，我们可以通过线性回归之类的方法，平滑的推断出7、9等不存在的r值的对应的count值，然后再带入上式进行计算。
