SVD/PCA的分析只需要一行代码即可实现，但是要理解背后的原理，可能需要从特征值和特征向量开始。第一次接触特征值是在SPM里，那时候连怎么发音都不知道。就像这个slide讲的一样，spm有一个按钮，按了就可以提取，可以理解为一个summary value。

以下内容95%整理自油管视频，都是基于2d的数据，只整理了与特征向量相关的内容，推荐前往观看有动画的原片4/6/13/14集。

https://youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab

矩阵和向量相乘

假设i和j是在坐标轴上的两个单位向量

任何向量v都可以用这两个向量表示，因为i和j就是在坐标轴上的单位向量，所以v就是[x y]'。

旋转和拉伸i和j

如果对于v做同样的变换，那么v同样可以用经过变换的L(i)和L(j)表示

也就是可以用i和j的新坐标来表示新的v的坐标

一个2x2的矩阵就可以看成是一个变换矩阵

这个矩阵和向量相乘，相当于将矩阵中的变换运用到右边的向量上，结果是新的向量

比如

矩阵和矩阵相乘

M1和M2相乘，相当于对于坐标轴上的单位向量i和j先做M1的变换后做M2变换。

先根据M1进行变换

再根据M2进行变换

也可以理解为对M1中的两列分别做M2的矩阵变换。

对M1中的第一列向量做M2的变换

M1第二列的变换也如此

更general的公式是

特征值和特征向量

比如有这么一个变换矩阵

对于一个向量

运用矩阵变换后，这个向量不再在之前的span上了。

但对于有的向量

在同样的变换之后，仍然会在之前的span上。

比如x轴上的一个向量经过变换后仍然在x轴上，只不过是伸缩了3个单位。

同样在对角线上的向量

经过变换后在同一个span上，伸缩的值是2.

这样经过矩阵变换，仍然在自己span上面的向量就是这个变换矩阵的特征向量，伸缩变化的值就是特征值

用公式表达如下，其中A就是变换矩阵，λ是特征值，v是特征向量

也就是说矩阵和向量相乘，等于scalar和向量相乘

因为λ是一个scalar，乘上单位矩阵之后交换到右边就可以求解特征值和特征向量了。

如果v是0的话也是成立的但是并不是想要的特征向量。所以需要（A-λI）这一个变换矩阵变换的结果是0，平面压缩成了一条线，相当于determinant=0

determinant(det)

它衡量的是一个变换矩阵对平面拉伸和旋转的改变有多少。

比如对于这个只有拉伸变换的矩阵

再看一个带shear的变换矩阵

同样的道理，可以知道平面内任何矩形的改变

任何形状可以用无数小方块来近似

这个变换矩阵对于平面的拉伸和旋转就是determinant，数值代表了平面内面积改变的多少，负数意味着整个平面都翻转了【flip】

关于计算公式

如果b=c=0

如果只有c=0

更general的公式

最后再举一个直观的例子，对于一个向量v，对它做A的矩阵变换，结果它并没有改变方向只是相当于做了拉伸。A*v=4*V

v=[1 2];
A=[2 1;2 3]
w = A*v';
w1=4*v'

figure
subplot(211)
plot([0 w(1)],[0 w(2)],'r-.','linew',3)
hold on
plot([0 v(1)],[0 v(2)],'k','linew',2)axis square
axis([ -1 1 -1 1 ]*max([norm(v) norm(w)]))
hold on
plot(get(gca,'xlim'),[0 0],'k--')
plot([0 0],get(gca,'ylim'),'k--')
legend({'A*v';'v'})subplot(212)
plot([0 w1(1)],[0 w1(2)],'g-.','linew',3)
axis square
axis([ -1 1 -1 1 ]*max([norm(v) norm(w)]))
hold on
plot(get(gca,'xlim'),[0 0],'k--')
plot([0 0],get(gca,'ylim'),'k--')
legend({'4*v'})

another example:

—END—