灰色系统理论与灰色关联分析模型

Author:丸子

Written on: 220211
Notes:包括灰色系统知识和灰色关联分析模型两部分

• 笔记
• 课程来自b站网课老哥带你学数模
• 书本为《数学建模算法与应用（第3版）》，司守奎编著
• 第424页

灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面：

• （1）灰色关联分析。

• （2）灰色预测：人口预测；灾变预测…等等。

• （3）灰色决策。

• （4）灰色预测控制。

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灰色系统理论是人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。

灰色关联分析法

灰色关联分析法是评价类问题的一个重要方法

一、灰色预测概念

灰色系统、白色系统和黑色系统

1. 白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的
2. 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。
3. 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。

灰色预测法

• 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。

• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预则，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测

• 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并可对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列,然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

• 灰色预测法用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

灰色预测的四种常见类型

1 灰色时间序列预测

• 即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

2 畸变预测

• 即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。

3 系统预测

• 一般不用

• 通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。

4 拓扑预测

• 将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点。

二、灰色关联度和优势分析

• 大千世界里的客观事物往往现象复杂，因素繁多。我们经常要对系统进行因素分析，这些因素中哪些对系统来讲是主要的，哪些是次要的，哪些需要发展，哪些需要抑制，哪些潜在的，哪些是明显的。一般来讲，这些都是我们极为关心的问题。事实上，因素间关联性如何、关联程度如何量化等问题是系统分析的关键。

• 例如人们关心的人口问题构成一个系统，影响人口发展变化的因素有社会方面的诸如计划生育、社会治安、社会生活方式等；有经济方面的诸如国民收入、社会福利、社会保险等；还有医疗方面的诸如医疗条件、医疗水平等………也就是说，人口是多种因素互相关联、互相制约的系统，对这些因素进行分析将有助于人们对人口的未来预测及人口控制工作。

• 因素分析的基本方法过去主要是采用回归分析等办法，但回归分析的办法有很多欠缺，如要求大量数据、计算量大以及可能出现反常情况等。为克服以上弊病，本节采用灰色关联度分析的办法来做系统分析。

• 灰色关联度一定是分析向量与向量之间以及矩阵与矩阵之间的关联度。既然计算关联度，一定是计算某一个待比较的数列与参照物（参考数列）之间的相关程度。

2.1 灰色关联度

2.2 案例分析

• X1是第一行，X2是第二行。。
• 参考数列X0，可以看作第0行，是虚构的一个最优的数据列
• 第四步是每行跟X0对应位置数值相减，再求绝对值

• 最值minmin是先在每行里面选出最小的，再把每行最小中选出最最小的。maxmax同理

• 这里关联度越大说明编号1的老师最好，4老师较差
• 要保证每个指标都是同一趋势的，比如这里都是数值越大越好。如果有一列为犯错率（犯错率越小代表越好），则可以采取其相反数，或者用1减，来保证整体指标趋势一样