本文介绍量子信息理论与量子计算理论中的基本术语、符号及相关概念。

1.量子信息

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        量子最早出现在光量子理论中，是微观系统中能量的一个力学单位。现代物理将微观世界中所有的微观粒子统称为量子，在绪论中有解释，离散变化的最小单位称为量子，比如光子组成光，光子就是光的量子，在不同语境下量子可能代表不同的事物。

        普朗克在1900年研究有关黑体辐射问题时提出了量子假说，假说的含义为：对一定频率 v 的电磁辐射，物体只能以此最小单位吸收或发射它。即吸收或发射电磁辐射只能以“量子”的方式进行，这种吸收或发射电磁辐射能量的不连续性在经典力学中是无法理解的，这也就是物理量的离散变化。

        利用微观粒子状态表示的信息称为量子信息。量子信息是指以量子力学基本原理为基础，通过量子的各种相干特性，研究信息存储、编码、计算和传输等行为的理论体系。

        量子信息的载体可以是任意两态的微观粒子系统。那么，两态是什么意思呢？这里我们先用一个例子来理解一下。

        下图的模型表示围绕单一原子旋转的电子，该电子可以稳定在两种状态。对于电子可以稳定在多种状态的模型中，我们称能量最低的状态为基本态，能量高于基本态的状态依次称为第一、第二激活态等，可以通过吸收或释放能量以实现两种不同状态之间的跃迁。下图中的只有两种状态，我们称为基本态和激活态，并用符号 $|0⟩\text{∣0⟩}|0⟩$ 和 $|1⟩\text{∣1⟩}|1⟩$ 来表示，我们也叫这两个状态为极化状态。在这个微观系统中，如果将一束具有适当能量的光以适当长的时间照射在这个原子上，我们就能将状态 $|0⟩\text{∣0⟩}|0⟩$ 改变为状态 $|1⟩\text{∣1⟩}|1⟩$ ，反之亦然。

        But，有趣的是我们可以通过减少光的照射时间，使这个电子从最初状态 $|0⟩\text{∣0⟩}|0⟩$ 向状态 $|1⟩\text{∣1⟩}|1⟩$ 的改变过程中定位在状态 $|0⟩\text{∣0⟩}|0⟩$ 和 $|1⟩\text{∣1⟩}|1⟩$ 的任意中间状态，此时我们便可以选择其中的某个状态来表示某种信息。利用量子的某一状态表示信息时，我们就说是信息量子化了并称为量子信息。

        再回到上面的问题，两态的微观粒子系统是什么？对于电子可以稳定在两种状态的系统来说，会存在两种稳定的状态，我们可以通过控制光照时间，将粒子稳定到这两种状态之间的中间状态，这些中间状态可以用这两种稳定状态来表示。所有的状态都可以用两个极化状态表示的系统就称为两态的微观粒子系统。

        信息一旦量子化，由于信息载体的微观特性，量子化的信息也更加多样，这些微观特征主要表现在：

• 量子态相干性：微观系统中量子间会相互影响。
• 量子态纠缠性：N（大于1）个量子在特定环境下可以处于较稳定的量子纠缠状态，对其中某个子系统内进行某种操作会影响其他的子系统。
• 量子态叠加性：量子的状态可以叠加，如上所述，系统可以处于 $|0⟩$ 和 $|1⟩$ 的中间状态，就称为它们的叠加状态，因为用不同的状态来表示信息，而不同的状态是可以叠加的，所以量子信息也可以叠加，我们可以同时对这些叠加的信息做操作，这样相当于同时处理多个信息，实现真正的并行处理。
• 量子不可克隆定理：量子力学的线性特性确保对任意量子态无法实现精确的复制，量子不可克隆定理和测不准原理构成了量子密码技术的物理基础。

        利用量子信息实现通信的过程是使每个微观粒子，通过自身的物理特性携带经典信息 0 和 1 的叠加信号后实现实现的数据传输的技术。

        相对于经典信息的基本存储单元比特（bit），量子信息的基本存储单元称为量子比特（qubit）。我们用一个两态的粒子表示一个量子比特，它的两个极化状态 $|0⟩$ 和 $|1⟩$ 对应于经典状态的 0 和 1 。在量子力学中用狄拉克标记 “$⟨|\text{⟨ ∣}⟨|$” 和 “$|⟩\text{∣ ⟩}|⟩$” 表示 量子的状态 ，狄拉克把量子物理中表示一个光子的偏振态沿某方向分解的概率幅的符号 “$⟨\cdot |\cdot ⟩\text{⟨ ⋅ ∣ ⋅ ⟩}⟨\cdot |\cdot ⟩$” 拆分成两半：bra 和 ket ，分别称为左矢和右矢。两个的区别为，左矢（ $⟨|\text{⟨ ∣}⟨|$ ）代表行向量，右矢（ $|⟩\text{∣ ⟩}|⟩$ ）是列向量，他们只是一种状态的两种不同书写形式，通常我们使用右矢来表示一个量子的状态。那么一个量子的状态具体是怎么表示呢？

        通过上面的表述我们知道，量子的一个重要特性是可以处于两个极化状态之间的状态，实际上量子力学有个基本原理称为 “叠加原理” ：如果两个状态是一个系统允许出现的状态，那么这两个状态的 线性叠加 也是这个系统允许出现的状态。

• “线性”的意思是指用一个数相乘。
• “叠加”是指两个状态的相加
• 那么两个状态的线性叠加可以表示为 $a|0⟩+b|1⟩\text{a∣0⟩+b∣1⟩}a|0⟩+b|1⟩$

        上面说了，我们用一个双态的粒子系统来表示一个量子比特，那么根据这个叠加原理，一个量子比特的状态该怎么表示呢？对的，我们也可以用该系统中的两个极化状态的线性叠加表示这个量子的状态，如果用两个极化状态表示上面模型中的量子处于基本状态（对应于经典状态的0）可以写为 $1|0⟩+0|1⟩$ ，反之，激活状态（对应于经典状态的1）可以写为 $0|0⟩+1|1⟩$，由此我们可以引入对一个量子所处状态描述的方式，设一个量子处于 $|\Psi ⟩\text{∣Ψ⟩}|\Psi ⟩$ 状态，那么该状态可以表示为：

$|\Psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩\text{∣Ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩}|\Psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$

这里的 α 和 β 为任意复数，且必须满足归一化要求 αα^* + ββ ^* = 1 。（ α^* 表示 α 的共轭复数）

        在量子力学中还有一个基本原理是 测量，在对一个量子进行测量时会以一定的概率发生 突变（也称坍缩） 。对于一个量子比特进行测量时，会以一定的概率突变为极化状态中的一个，对于一个确定状态的量子比特，向每个状态突变的概率是确定的，在状态的表示中 α 和 β 被称为概率幅，概率幅的平方是概率。对于上面的状态 $|\Psi ⟩$ 进行测量时，会以 α² 突变为状态 $|0⟩$ ,以 β²突变为状态 $|1⟩$。例如，一个量子比特处于一下状态：
$$\frac{1}{\sqrt[]{2}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt[]{2}}|1⟩$$

测量时以 $\frac{1}{2}$ 的概率结果为 $|0⟩$，以 $\frac{1}{2}$ 的概率结果为 $|1⟩$ 。

        量子比特存储量子态表示信息是量子信息的出发点。量子力学理论描述量子信息的行为。薛定谔方程制约着量子态信息每步的演变，线性代数的幺正变换约束着可逆的量子态信息计算；量子信息的传输是由量子通道端点上量子纠缠集合状态的变化，结果信息的获取便是在得到输出态之后，量子计算机对输出态进行一定的测量后给出的结果。

2.线性代数中的量子符号及其运算的简介

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        量子力学理论是线性的，因此可以使用线性代数中的符号和概念来类比量子力学的知识。

        量子系统所处的状态称为量子态，由Hilbert空间中的列单位向量表述。线性代数中有个概念称为向量空间，其定义为一个满足加法和数乘封闭的向量集合。对其延伸，带有内积的向量空间称为内积空间，而完备的内积空间称为Hilbert空间。

        量子比特的状态由二维Hilbert空间中的列向量表示，顾名思义，我们用一个列向量（右矢）来表示一个量子比特的状态，在上面的量子状态的表示中我们知道，对于两态粒子系统的一个状态 $|0⟩$ 可以表示为 $1|0⟩+0|1⟩$ ,现在我们把它映射到行向量即可以写为：

$$|0⟩=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=1|0⟩+0|1⟩$$

同理，状态 $|1⟩$ 可以写为：

$$|1⟩=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=0|0⟩+1|1⟩$$

我们将这种向量表示的量子状态称为态矢——表示量子状态的矢量，而态矢组成的空间称为态矢空间。
        上面我们还讲到左矢 $⟨|$ ，左矢是用行向量表示状态，但是我们一般使用列向量来表示一个态矢量。

        一个向量空间的生成集合是一个向量集合 { ∣ v 1 ⟩ \{|v_1\rangle {∣v1​⟩，···，$|v_n⟩\}$，该向量空间中的任意向量 $|v⟩$ 都能够写成这个生成集合的线性组合 $|v⟩={\sum }_1^n{a}_i|v_i⟩$ ，生成集合可以理解为一组向量中的极大线性无关组，通过定义可以看出$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$是二维向量空间的生成集合，因此对于两态的粒子系统，我们可以用这两个态矢的线性叠加来表示所有的状态。

        将量子的状态表示为向量后，我们便可以使用线性代数中的各种运算来对量子的状态进行各种操作。下面列举出了一些基本的符号和含义：

符号	说明
$z^{\ast }$	复数 z 的共轭复数，即实部不变，虚部变为相反数 $(1+i{)}^{\ast }=(1-i)$
$\mid \Psi ⟩$	右矢，也称为 ket
$⟨\Psi \mid$	$\mid \Psi ⟩$ 的对偶矢量，也称为 bra
$⟨\varphi \mid \Psi ⟩$	矢量 $\mid \varphi ⟩$ 和 $\mid \Psi ⟩$ 的内积
$\mid \varphi ⟩$ $\otimes$ $\mid \Psi ⟩$	$\mid \varphi ⟩$ 和 $\mid \Psi ⟩$的张量积
$\mid \varphi ⟩\mid \Psi ⟩$ 和 $\mid \varphi \Psi ⟩$	$\mid \varphi ⟩$ 和 $\mid \Psi ⟩$的张量积的简写
$A^{\ast }$	矩阵A的复共轭，也就是将矩阵A中的每个元素都变为共轭复数
$A^T$	矩阵A的转置
$A^H$	矩阵A的埃尔米特变换，或称为矩阵A的伴随，也就是对矩阵先转置，再取矩阵的复共轭
$⟨\varphi \mid A\mid \Psi ⟩$	矢量 $\mid \varphi ⟩$ 和 $A\mid \Psi ⟩$ 的内积，等于矢量 $A^H$$\mid \varphi ⟩$ 和 $\mid \Psi ⟩$ 的内积

        这里详细介绍一下张量积，先看一下张量积的矩阵表示：
$$\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]⨂\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_1\times \left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]\\ a_2\times \left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]\\ ⋮\\ a_n\times \left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_1{b}_1\\ ⋮\\ a_1{b}_n\\ ⋮\\ a_2{b}_1\\ ⋮\\ a_2{b}_n\\ ⋮\\ a_n{b}_n\end{array}\right]$$

        矩阵表示比较好理解，但是张量积有什么意义呢？对于一对量子比特：
$$|0⟩=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]与|1⟩=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$
两个粒子可以组成四个不重复的量子比特对 $|00⟩\text{∣00⟩}|00⟩$，$|01⟩\text{∣01⟩}|01⟩$，$|10⟩\text{∣10⟩}|10⟩$，$|11⟩\text{∣11⟩}|11⟩$，他们张量积的矩阵表示如下：
$$|00⟩=|0⟩\otimes |0⟩=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

$$|01⟩=|0⟩\otimes |1⟩=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

$$|10⟩=|1⟩\otimes |0⟩=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$$

$$|11⟩=|1⟩\otimes |1⟩=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

        通过张量积，我们表示该量子比特对总体的状态，同样的，如果对于多粒子的系统，总体的系统状态也可以用张量积表示。该总体的状态也符合量子力学的叠加和测量原理。

        量子态的叠加性源于微观粒子 “波粒二象性” 的波动 “相干叠加性”（一个以上的信息状态累加在同一个微观粒子上的现象）。这里我们要引入量子力学的另外一个基本原理：纠缠 。量子纠缠状态指的是两个或多个量子系统之间的非定域、非经典的关联, 是量子系统内各子系统或各自由度之间关联的力学属性(一个以上的微观粒子因微观系统的特性相互交缠在一起的现象)。非定域是指一旦两量子系统的状态构成纠缠态，则不管后来这两个量子系统间的距离被分隔多远，且他们之间可能不再有力学上的交互作用，但只要仍保持在纠缠态，他们之间超强的量子关联性就不会改变。这个量子关联性一个典型的体现就是，其中一个粒子进行测量时，会使另外一个粒子同步变成另外一种状态，也就是说两个粒子会同时突变，而且两个粒子突变的结果是有联系的。

        量子纠缠使纠缠态的量子有了超出常理的联系，而像电影中进行远距离瞬间传送也是根据量子纠缠而产生的插曲。用线性代数的语言描述量子比特的纠缠状态为：当若干个量子比特组成的量子比特列的叠加状态无法用各量子比特的张量乘积表示时, 这种叠加状态就称为量子纠缠状态。例如：有一量子叠加状态：
$$\frac{1}{\sqrt[]{2}}|00⟩+\frac{1}{\sqrt[]{2}}|10⟩=\frac{1}{\sqrt[]{2}}|0⟩|0⟩+\frac{1}{\sqrt[]{2}}|1⟩|0⟩$$

由于其最后一位量子比特位都是 $|0⟩$ ,因此能够将它写成量子比特$(\frac{1}{\sqrt[]{2}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt[]{2}}|0⟩)$与量子比特 $|0⟩$ 的乘积：
$$(\frac{1}{\sqrt[]{2}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt[]{2}}|0⟩)|0⟩$$

但是对于下列的量子叠加状态：

$$\frac{1}{\sqrt[]{2}}|01⟩+\frac{1}{\sqrt[]{2}}|10⟩$$

无论采用怎么样的方法都无法写成两个量子比特的乘积。这个叠加态就称为量子纠缠状态。

        量子纠缠状态时量子信息理论中特有的概念，尽管处在纠缠的两个或多个量子系统之间不存在实际物质上的联系，但不同的量子位却会因为纠缠而彼此影响。正是由于“纠缠”的神秘性，使得一个量子的状态将同与之发生纠缠的另一个量子的状态相关。

        这里再粗略讲一下量子态叠加与并行处理的关系。如十进制数10和5，若用量子比特来表示，则可以分别写成：
$$|10{⟩}_{10}=|1010⟩=|1⟩\otimes |0⟩\otimes |1⟩\otimes |0⟩$$
$$|5{⟩}_{10}=|0101⟩=|0⟩\otimes |1⟩\otimes |0⟩\otimes |1⟩$$

取他们的叠加态就得到如下的表示：
$$\begin{array}{rl}|10{⟩}_{10}+|5{⟩}_{10}& =|1010⟩+|0101⟩\\ & =|1⟩\otimes |0⟩\otimes |1⟩\otimes |0⟩+|0⟩\otimes 1⟩\otimes |0⟩\otimes 1⟩\end{array}$$

针对他们的叠加态可以利用量子算法同时处理十进制整数的 10 和 5 。显然，状态的每个量子位是纠缠态，可以对这个叠加状态实施各种运算，其结果如同同时对 10 和 5 进行计算，最后通过测量即可分别获得 10 和 5 的计算结果，实现两个数物理上的并行计算。