最优化问题求解及Lingo教程

article/2025/6/23 6:24:19

介绍

Lingo是一款求解最优化问题的软件，可以用于求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等，功能十分强大，是求解优化模型的最佳选择。

最优化问题

首先介绍一下什么是最优化问题。

最优化问题，即在所有可行的方案中选出使得目标最优的方案的实际问题。

优化问题的三要素是：

决策变量
约束条件
目标函数

数学规划/函数优化问题的标准形式

$\min/ \max f(x)\\ s.t. g_i(x)\leq0,i=1,\dots,m_1\\ h_j(x)=0,j=1,\dots,m_2\\ f:D \rightarrow R,D \subseteq R^n$

优化问题分类

根据决策变量取值情况不同，分为连续型和离散型。

根据有无约束条件分为无约束优化和带约束优化。

根据处理思想方法不同，分为数学规划（函数优化问题）、组合优化、图论与网络流、动态规划、目标优化、模糊优化、随机优化、对策与决策……

Lingo教程

求解LP问题

$\min=2*x_1+3*x_2\\ s.t. x_1+x_2 \geq 350\\ x_1 \geq 100\\ 2*x_1+x_2 \leq 600$

求解这样一个问题，只需直接输入如下代码，写法基本与数学公式一直，不用改写成标准形式

min=2*x1+3*x2;
x1+x2>=350;
x1>=100;
2*x1+x2<=600;

点击🎯图标运行：

LP-Lingo

可以看到直接识别出了问题类型，并找到了全局最优解。

求解MILP问题

在这里插入图片描述

@free: 可正可负（默认大于等于0）

@gin：整数

求解IQP问题

⚠一定要在Lingo选项->求解非线性菜单中勾选二次规划识别！！否则会按照INLP问题求解,只能得出局部最优解。

max=98*x1+277*x2-x1^2-0.3*x1*x2-2*x2^2;
x1+x2<=100;
x1<2*x2;
@gin(x1);@gin(x2);

IQP

运算符

算数运算符 + - * / ^
关系运算符 <(=) = >(=)
逻辑运算符
- 否定 #NOT#
- 相等 #EQ#
- 不等 #NE#
- 与 #AND#
- 或 #OR#
- 大于 #GT#
- 大于等于 #GE#
- 小于等于 #LE#
- 小于 #LT#

数学函数

@ABS(x) 绝对值
@SIN(x)，@COS(x) … 三角函数
@EXP(x) 返回 $e^x$
@LOG(x) 自然对数
@SIGN(x) x<0返回-1；否则返回1
@FLOOR(x) 返回x靠近0的整数部分，如@FLOOR(1.2)=1,@FLOOR(-2.3)=-2

金融函数

$@fpa(r,n)=\sum_{k=1}^n{\frac{1}{\left( 1+r \right) ^k}=}\frac{1-\left( 1+r \right) ^{-n}}{r}$
$@fpl(r,n)=\left( 1+r \right) ^{-n}$

概率函数

@pbn(p,n,x) 二项分布
@pcx(n,x) 卡方分布
@pfd(n,d,x) F分布
……

变量界定函数

Lingo变量默认是非负的

@bin(x) x=0或1
@bnd(L,x,U) $\le x \le U$
free(x) 实数
@gin(x) 整数

条件判断函数

@IF(logical_condition,true_result,false_result)

例：分段函数
$f\left( x \right) =\begin{cases} 100,x>0\\ 2x, x\le 0\\ \end{cases}$
fx=@if(x #gt# 0,100,2*x)

集合操作函数

@in(set_name,index_1[,index_2]) 是否在集合中，返回0/1
@wrap(index,limit) 取模，返回 j=index-k*limit=index(mod limit) +1, k为整数，保证j在[1, limit]内
@size(set_name) 集合成员个数

集合循环函数

@FOR(set_name:constraint_expressions) 对每个元素生成约束
@MAX(set_name:expressions) 表达式的最大值
@MIN(set_name:expressions) 表达式的最小值
@SUM(set_name:expressions) 表达式的和

例：产生序列{1，4，9，16，25}

model:
sets:number/1..5/:x;
endsets@for(number(i):x(i)=i^2);
end

例：

s=@sum(number(i)|i#le# 5: x); !前5个求和
m=@min(number(i)|i#ge# 5: x); !5个之后的最小值