☆解平方根算法一（趋近法）

对于输入一个任意实数 c ,输出c 的算术平方根 g。根据以往的常识，可能最先想到的就是采用趋近的方法来求解。

① 先从0到c的区域里选出一个整数g1估计值,满足g1的平方小于c 并且 g1+1的平方大于c 的条件。
② 以步长h增加g1,即g1=g1+h, 其中h 为设置的精度（下文代码设为0.00001），使其结果不断向精度解靠拢。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
void square_root(double c)
{int r=0;double g=0;for(int i=0;i<c+1;++i){if(i*i == c){g=i;printf("%.5f",g);}if(i*i > c){g=i-1;break;}}while(abs(g*g -c) > 0.0001){  //判断g^2-c是否在精度范围内g+=0.00001;             //g每次加固定步长，以逼近所求解r+=1;printf("%d : g = %.5f\n",r,g);}}
int main()
{double c;cin>>c;square_root(c);return 0;
}

当我们输入9时它能很快算出3.00000

但是当我们输入10后：

1 : g=3.00001
2 : g=3.00002
.
.
.
16226 : g=3.16226
16227 : g=3.16227

好家伙，这算法一下就变得非常糟糕了，如果把解的精度和步长缩小，那么运行时间太大了，因此我们必须换一种算法~

☆解平方根算法二（二分法）

二分法的字面意思就是“一分为二”的方法，其基本思想就是，每次将求解值域的区间减少一半，因此可以快速缩小搜索范围。将二分法运用在此题上，就是期望能快速的找到平方根精确值所在的区间。

#include <iostream>
using namespace std;
void square_root(double c){double r=0,g=c;int j=0; //记录循环步数 while(g-r>1e-8){double mid=(g+r)/2;if(mid*mid > c)  g=mid; //说明mid右边 都满足mid*mid>c,所以用g=mid，缩小取值范围 else r=mid; //和上面一样的道理j+=1;printf("%d : %.7f\n",j,mid);}
}
int main()
{double c;cin>>c;square_root(c);return 0;
}

我们这里输入c=10;

结果：

1 : 5.0000000
2 : 2.5000000
3 : 3.7500000
.
.
25 : 3.1622776
26 : 3.1622778
27 : 3.1622777
28 : 3.1622777
29 : 3.1622777
30 : 3.1622777

我们非常成功的将算法一的16227次循环简化到了30次循环，并且还大大提高了精确度

既然算法二已经如此的高效了，这是不是就意味着算法二即为平方根的最佳解法呢？

有趣的是，还可以进一步的修改算法，获得更少的循环次数，加快g 的求解过程，而且还能得到同样精度甚至更高的精度解。在算法中，要养成良好的思维习惯，持续不断的对设计进行优化，寻找更高效的解法，这也是计算机科学之美的重要体现~

☆解平方根算法三（牛顿迭代法）

因为要求c 的平方根，所以满足 x^2=c ,此时x 的解就是c 的平方根，因此不妨令f(x)=x^2-c,设x0为方程的解，即f(x0)=0。选取g0作为x0 的初始近似值，算法的核心在于如何推导下一个点g1 ，使得g1 更趋近于正确值x0. 以此类推直到找到精确范围内的正确解就行了。

算法的思想就是：当x=g0 时，过点f(x) 做一条切线。这条切线与x 轴相交于一点，这个交点就是g1 。

从图1-7 可以清楚地看到g1 比 g0 更趋近于x0。然后再经过f(g1)做一条切线，同样该切线与x轴的交点成为下一个更趋近于x0 的近似值g2.以此类推就行了~

通过数学计算，可以得出g1 和g0 的关系是 g1=(g0+c / g0 ) / 2

对证明感兴趣的友友可以看一下：

过点（g0, f(g0)）做f(x) 的切线 L ，f(x)的导数为2x ,所以切线L 的斜率就是f '(g0)=2g0 。
然后就可以求L 的切线方程：y= f(g0) + f '(g0)( x - g0 ) ，设L和x 轴的交点坐标为（g1,0），则
0=f( g0 ) +f '( g0 )( g1- g0 ) 。因为f(g0 )= g0^2-c 且 f '(g0)=2g0 。将其带入计算化简，得到：
g0^2 -c + 2g0( g1 - g0 )= 0 ，所以2g0g1=c-g0^2+2g0^2= c+g0^2 ，化简得到：
g1=( g0 + c / g0 ) / 2

以此类推，每次循环都将近似值用这个公式更新，就能快速得到c 的算术平方根~

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
void square_root(double c){int j=0; //记录循环步数 double g=c/2; //先将g设为 区间中点，while(abs(g * g -c) >1e-11){g=(g+c/g)/2;j+=1;printf("%d : %.10f\n",j,g);}
}
int main()
{double c;cin>>c;square_root(c);return 0;
}

我们输入c=10

1 : 3.5000000000
2 : 3.1785714286
3 : 3.1623194222
4 : 3.1622776604
5 : 3.1622776602

我们非常成功的将算法二的30次循环简化至5次循环，并且还大大提高了精确度，岂不美哉！！

☆升级版牛顿迭代法

到这里，我们可能会疑惑了，求平方根的 sqrt( )函数的底层算法效率的问题。

这里我也没办法讲清楚，看这篇博客sqrt()函数实现（底层探究）

你会看到这份“神一样”的代码：‘

float Q_rsqrt( float number )
{long i;float x2, y;const float threehalfs = 1.5F;x2 = number * 0.5F;y   = number;i   = * ( long * ) &y;   // evil floating point bit level hackingi   = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?y   = * ( float * ) &i;y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration// y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed#ifndef Q3_VM#ifdef __linux__assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?#endif#endifreturn y;
}

上述源代码解析：点这里

当然我只能看出它本质上还是使用的牛顿迭代法，但真正看不懂的是 0x5f3759df86这个神一样的数字的由来，经过这一步计算（上面what the fuck那步），使得这个值非常接近1/sqrt(n)，因此我们只需要2次牛顿迭代就可以达到我们所需要的精度，是真的六！！。

精简版：

float InvSqrt(float x)
{float xhalf = 0.5f*x;int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0x = *(float*)&i; // convert bits BACK to floatx = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracyreturn x;
}