1、B树简介

  1970年，R.Bayer和E.mccreight提出了一种适用于外查找的树，它是一种平衡的多叉树，称为B树（或B-树、B_树）。一棵m阶B树(balanced tree of order m)是一棵平衡的m路搜索树。它或者是空树，或者是满足下列性质的树：
  1、根结点至少有两个子女；
  2、每个非根节点所包含的关键字个数 j 满足：⌈ m/2⌉ - 1 <= j <= m - 1；
  3、除根结点以外的所有结点（不包括叶子结点）的度数正好是关键字总数加1，故内部子树个数 k 满足：⌈ m/2⌉ <= k <= m ；
  4、所有的叶子结点都位于同一层。
  在B-树中，每个结点中关键字从小到大排列，并且当该结点的孩子是非叶子结点时，该k-1个关键字正好是k个孩子包含的关键字的值域的分划。
  因为叶子结点不包含关键字，所以可以把叶子结点看成在树里实际上并不存在外部结点，指向这些外部结点的指针为空，叶子结点的数目正好等于树中所包含的关键字总个数加1。
  B-树中的一个包含n个关键字，n+1个指针的结点的一般形式为:（n,P0,K1,P1,K2,P2,…,Kn,Pn）。其中，Ki为关键字，K1<K2<…<Kn, Pi 是指向包括Ki到Ki+1之间的关键字的子树的指针。
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2、在线可视化生成B树工具

  网址是：https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/BTree.html

3、B树删除规则

4、B树删除示例

  看一个具体例子，这里是以五阶B树为例，
  对于五阶B树来说：
    其中根结点的关键字个数 j 满足：1 <= j <= m - 1，也就是1 ~ 4；
    其中非根结点的关键字个数 j 满足：⌈ m/2⌉ - 1 <= j <= m - 1，也就是2 ~ 4；
    其中根结点的子树个数 k 满足：2 <= j <= m ，也就是2 ~ 5；
    其中子结点的子树个数 k 满足：⌈ m/2⌉ <= k <= m，也就是3 ~ 5。

4.1、删除非根结点示例

  关键字序列为（1，2，3，4，5，6，9，11，12，23，25，30，40，43，44，46，48，49，50，51，52，56，58，59，60，64，65，66，70，72，73，89），其中绿色的图是在线可视化生成B树工具运行结果。
  1、B树插入这里不介绍，构建完成后如图4-1所示。

图4-1

  2、删除关键字“60”，删除后如图4-2所示。

  图中步骤②，是根据B树删除规则中第①个【先用其直接前驱（关键字“59”（替代是先左后右））替代其位置】
  图中步骤③，是根据B树删除规则中第⑤个【左、右兄弟都不够借，则（当前结点剩余关键字“58”）需要与父结点内的关键字（关键字是“56”）和左兄弟（关键字是“51、52”）进行合并，合并后导致父结点关键字数量-1，数量-1后父结点中关键字个数未低过下限（五阶B树非根结点的关键字个数下限是2），无需继续调整合并】

图4-2

  3、删除关键字“66”，删除后如图4-3所示。

  图中步骤②，根据B树删除规则中第①个【先用其直接前驱（关键字“65”（替代是先左后右））替代其位置】
  图中步骤③和步骤④，根据B树删除规则中第④个【左兄弟够借，则用当前结点的前驱（关键字是“59”）、前驱的前驱（关键字是“58”）依次顶替空缺】

图4-3

  4、删除关键字“65”，删除后如图4-4所示。

  图中步骤②，根据B树删除规则中第①个【先用其直接前驱（关键字“64”（替代是先左后右））替代其位置】
  图中步骤③和步骤④，根据B树删除规则中第④个【左兄弟够借，则用当前结点的前驱（关键字是“58”）、前驱的前驱（关键字是“56”）依次顶替空缺】

图4-4   5、删除关键字“59”，删除后如图4-5所示。

  图中步骤②和步骤③，根据B树删除规则中第③个【右兄弟够借，则用当前结点的后继（关键字是“64”）、后继的后继（关键字是“70”）依次顶替空缺】

图4-5   6、删除关键字“58”，删除后如图4-6所示。

  图中步骤②和步骤③，根据B树删除规则中第③个【右兄弟够借，则用当前结点的后继（关键字是“70”）、后继的后继（关键字是“72”）依次顶替空缺】

图4-6   7、删除关键字“51”，删除后如图4-7所示。

  图中步骤②，是根据B树删除规则中第⑤个【左、右兄弟都不够借，则（当前结点剩余关键字“52”）需要与父结点内的关键字（关键字是“56”）和右兄弟（关键字是“64、70”）进行合并，合并后导致父结点关键字数量-1，数量-1后父结点中关键字个数低过下限（五阶B树非根结点的关键字个数下限是2），需要继续调整合并】
  图中步骤③和步骤④，是根据B树删除规则中第①个【先用其直接前驱（关键字“50”（替代是先左后右））替代其位置】，替代后合并关键字“40、46、50、72”即可

图4-7   8、删除关键字“89”，删除后如图4-8所示。

  图中步骤②和步骤③，根据B树删除规则中第④个【左兄弟够借，则用当前结点的前驱（关键字是“72”）、前驱的前驱（关键字是“70”）依次顶替空缺】

图4-8   9、删除关键字“11”，删除后如图4-9所示。

  图中步骤②和步骤③，根据B树删除规则中第④个【左兄弟够借，则用当前结点的前驱（关键字是“9”）、前驱的前驱（关键字是“6”）依次顶替空缺】

图4-9   10、删除关键字“4”，删除后如图4-10所示。

  图中步骤②，是根据B树删除规则中第⑤个【左、右兄弟都不够借，则（当前结点剩余关键字“5”）需要与父结点内的关键字（关键字是“3”）和左兄弟（关键字是“1、2”）进行合并，合并后导致父结点关键字数量-1，数量-1后父结点中关键字个数低过下限（五阶B树非根结点的关键字个数下限是2），需要继续调整】
  图中步骤③，是根据B树删除规则中第①个【先用其直接前驱（关键字“23”（替代是先左后右））替代其位置】
  图中步骤④，是根据B树删除规则中第③个【右兄弟够借，则用当前结点的后继（关键字是“40”）顶替空缺】

图4-10   11、删除关键字“48”，删除后如图4-11所示。

  图中步骤②和步骤③，根据B树删除规则中第③个【右兄弟够借，则用当前结点的后继（关键字是“50”）、后继的后继（关键字是“52”）依次顶替空缺】

图4-11   12、删除关键字“25”，删除后如图4-12所示。

  图中步骤②，是根据B树删除规则中第⑤个【左、右兄弟都不够借，则（当前结点剩余关键字“30”）需要与父结点内的关键字（关键字是“23”）和左兄弟（关键字是“9、12”）进行合并，合并后导致父结点关键字数量-1，数量-1后父结点中关键字个数低过下限（五阶B树非根结点的关键字个数下限是2），需要继续调整】
  图中步骤③，是根据B树删除规则中第①个【先用其直接前驱（关键字“40”（替代是先左后右））替代其位置】
  图中步骤④，是根据B树删除规则中第③个【右兄弟够借，则用当前结点的后继（关键字是“46”）顶替空缺】

图4-12   13、删除关键字“73”，删除后如图4-13所示。

  图中步骤②，是根据B树删除规则中第⑤个【左、右兄弟都不够借，则（当前结点剩余关键字“72”）需要与父结点内的关键字（关键字是“70”）和左兄弟（关键字是“56、64”）进行合并，合并后导致父结点关键字数量-1，数量-1后父结点中关键字个数低过下限（五阶B树非根结点的关键字个数下限是2），需要继续调整】
  图中步骤③和步骤④，是根据B树删除规则中第①个【先用其直接前驱（关键字“46”（替代是先左后右））替代其位置】，替代后合并关键字“6、40、46、52”即可

图4-13   14、删除关键字“43”，删除后如图4-14所示。

  图中步骤②和步骤③，根据B树删除规则中第④个【左兄弟够借，则用当前结点的前驱（关键字是“40”）、前驱的前驱（关键字是“30”）依次顶替空缺】

图4-14   15、删除关键字“70”，删除后如图4-15所示。

  图中步骤①，根据B树删除规则中第②个【删除后结点关键字的个数未低于下限，直接删除，无需任何处理】

图4-15   16、删除关键字“50”，删除后如图4-16所示。

  图中步骤②和步骤③，根据B树删除规则中第③个【右兄弟够借，则用当前结点的后继（关键字是“52”）、后继的后继（关键字是“56”）依次顶替空缺】

图4-16   17、删除关键字“40”，删除后如图4-17所示。

  图中步骤②和步骤③，根据B树删除规则中第④个【左兄弟够借，则用当前结点的前驱（关键字是“30”）、前驱的前驱（关键字是“23”）依次顶替空缺】

图4-17   18、删除关键字“9”，删除后如图4-18所示。

  图中步骤②和步骤③，根据B树删除规则中第④个【左兄弟够借，则用当前结点的前驱（关键字是“6”）、前驱的前驱（关键字是“5”）依次顶替空缺】

图4-18   19、删除关键字“1”，删除后如图4-19所示。

  图中步骤①，根据B树删除规则中第②个【删除后结点关键字的个数未低于下限，直接删除，无需任何处理】

图4-19   20、删除关键字“30”，删除后如图4-20所示。

  图中步骤②，是根据B树删除规则中第⑤个【左、右兄弟都不够借，则（当前结点剩余关键字“44”）需要与父结点内的关键字（关键字是“23”）和左兄弟（关键字是“6、12”）进行合并，合并后导致父结点关键字数量-1，数量-1后父结点中关键字个数未低过下限（五阶B树根结点的关键字个数下限是1），无需继续调整】

图4-20   21、删除关键字“5”，删除后如图4-21所示。

  图中步骤②，根据B树删除规则中第③个【右兄弟够借，则用当前结点的后继（关键字是“6”）顶替空缺】

图4-21   22、删除关键字“56”，删除后如图4-22所示。

  图中步骤②，根据B树删除规则中第①个【先用其直接前驱（关键字“52”（替代是先左后右））替代其位置】
  图中步骤③和步骤④，根据B树删除规则中第④个【左兄弟够借，则用当前结点的前驱（关键字是“46”）、前驱的前驱（关键字是“44”）依次顶替空缺】

图4-22   23、删除关键字“6”，删除后如图4-23所示。

  图中步骤②，是根据B树删除规则中第①个【先用其直接前驱（关键字“23”（替代是先左后右））替代其位置】和第⑤个【左、右兄弟都不够借，则（当前结点剩余关键字“12”）需要与父结点内的关键字（关键字是“23”）和左兄弟（关键字是“2、3”）进行合并，合并后导致根结点关键字数量-1，数量-1后根结点中关键字个数未低过下限（五阶B树根结点的关键字个数下限是1），无需继续合并】

图4-23

4.2、删除根结点示例

  关键字序列为（1，2，12，22，23，33，34，132，213，321，342，343，344，676，788，898，2323，5656，5659），其中绿色的图是在线可视化生成B树工具运行结果。这里是为了单独演示删除根结点操作步骤：
  1、B树插入这里不介绍，构建完成后如图4-24所示。

图4-24

  2、删除关键字“342”，删除后如图4-25所示。

  根据B树删除规则中第①个【先用其直接前驱（关键字“321”（替代是先左后右））替代其位置】和第③个【左兄弟够借，则用当前结点的前驱（关键字是“132”）、前驱的前驱（关键字是“34”）依次顶替空缺】

图4-25

  3、删除关键字“321”，删除后如图4-26所示。

  根据B树删除规则中第①个【先用其直接前驱（关键字“213”（替代是先左后右））替代其位置】和第③个【左兄弟够借，则用当前结点的前驱（关键字是“34”）、前驱的前驱（关键字是“33”）依次顶替空缺】

图4-26

  4、删除关键字“213”，删除后如图4-27所示。

  根据B树删除规则中第①个【先用其直接前驱（关键字“132”（替代是先左后右））替代其位置】和第⑤个【左、右兄弟都不够借，则（当前结点剩余关键字“34”）需要与父结点内的关键字（关键字是“33”）和左兄弟（关键字是“22、23”）进行合并，合并后导致父结点关键字数量-1，数量-1后父结点中关键字个数低过下限（五阶B树非根结点的关键字个数下限是2），需要继续合并】
  再次根据B树删除规则中第⑤个【左、右兄弟都不够借，则（当前结点剩余关键字“12”）需要与父结点内的关键字（关键字是“132”）和右兄弟（关键字是“676、2323”）进行合并，合并后无需继续合并】

图4-27

  以上就是B树删除的全部过程，涵盖了所有情况。