凹性（concavity）与函数导数的变化率有关。一个函数f是上凹(即抛物线方向开口向上)，其导数f`是增函数，也意味着f`的导数（即f``）是正数；类似的一个函数f是下凹(即抛物线方向开口向下)，其导数f`是减函数，也意味着f`的导数(即f``)是负数。

凹性的定义如下：

concave中文是凹函数。对于一元函数来说，它是开口向上的，图形上呈现杯子状。

 接下来，是两个小练习：

 

问题： 如果两个函数凹函数（即开口向上，图形呈现杯子状），它们的乘积和求和之后也会仍然是凹函数吗？

答案：如果两个函数f和g，其中f``>0和g``>0，如果对f+g求二阶导，会得到f``+g``，它是正数。所以f+g是凹函数。如果对fg求二阶导，会得到f``g+2f`g`+fg``，由于f``和g``是正数，但是其他项可以是任何符号，因此整个表达式不一定是正数，因此两个凹函数的乘积不一定是凹函数。例如，考虑f(x)=1/x，g(x)=sqrt(x^3)，其中x>0。此时，f和g两个函数都是凹函数，但是它们的乘积sqrt(x)是下凹函数。可以自行求导进行验证。

看到上述其实已经掌握了什么是凹函数，以及如何判断凹函数。下面是通过一个上凹函数的图像，细致的分析函数的凹性。

注：为了简单起见，通常我们称“函数f是凹函数”而不是说“函数f的图像是凹函数”。只是称呼上为了方便而已，意思是一样的。

 

上述图3.4.1从左往右看，可以看到切线的斜率越来越大。斜率的定义为：切线与x轴的倾斜角α的正切值tanα。规定平行于x轴的切线斜率为0，平行于y轴的切线斜率不存在。tanα函数图像如下:

 

 从左往右可以看到，切线的斜率越来越大，当f是递减函数时，f`<0，f是递增函数时，f`>0。即下面这个图所描述的：

我们只看三四象限中的内容.f`<0,意味着函数f是单调递减的，f`>0意味着函数f是单调递增的。这是第一行的内容。第二行二阶导数为正数，意味着f是上凹函数。 

参考：Concavity review (article) | Khan Academy

https://batch.libretexts.org/print/url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Calculus_3e_(Apex)/03%3A_The_Graphical_Behavior_of_Functions/3.04%3A_Concavity_and_the_Second_Derivative.pdf

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