阿里巴巴笔试题选解
--9月22日，阿里巴巴北邮站
小题：
1、有三个结点，可以构成多少种二叉树形结构？
2、一副牌52张(去掉大小王)，从中抽取两张牌，一红一黑的概率是多少？
编程题：
3、设计一个最优算法来查找一n个元素数组中的最大值和最小值。已知一种需要比较2n次的方法，请给一个更优的算法。情特别注意优化时间复杂度的常数。
4、已知三个升序整数数组a[l], b[m]和c[n]。请在三个数组中各找一个元素，是的组成的三元组距离最小。三元组的距离定义是：假设a[i]、b[j]和c[k]是一个三元组，那么距离为:
Distance = max(|a[ I ] – b[ j ]|, |a[ I ] – c[ k ]|, |b[ j ] – c[ k ]|)
请设计一个求最小三元组距离的最优算法，并分析时间复杂度。
5、在黑板上写下50个数字：1至50.在接下来的49轮操作中，每次做如下动作：选取两个黑板上的数字a和b，擦去，在黑板上写|b - a|。请问最后一次动作之后剩下数字可能是什么？为什么？
题解：(题解非官方，仅供参考，有错误的地方望指正！谢谢)
1、有三个结点的，可以构成多少个种二叉树形结构？
解：应该是5种；
2、一副牌52张(去掉大小王)，从中抽取两张牌，一红一黑的概率是多少？
考察概率论知识
解法一： 52张牌从中抽两张，就是 C(2,52)种情况，一红一黑是C(1,26) * C(1,26)种
P = [C(1,26) * C(1,26) ] / C(2,52) = 26 * 26 / (26 * 51) = 26/51
解法二： 全为黑或者全为红是C(2,26)种情况，由于是黑和红两种，所以要乘以2
P = 1 - C(2,26) / C(2,52) - C(2,26) / C(2,52) = 1 - 2 * (26 * 25)/(51 * 52) = 1 - 25/51 = 26/51
3、设计一个最优算法来查找一n个元素数组中的最大值和最小值。已知一种需要比较2n次的方法，请给一个更优的算法。情特别注意优化时间复杂度的常数。
解：把数组两两一对分组，如果数组元素个数为奇数，就最后单独分一个，然后分别对每一组的两个数比较，把小的放在左边，大的放在右边，这样遍历下来，总共比较的次数是 N/2 次；在前面分组的基础上，那么可以得到结论，最小值一定在每一组的左边部分找，最大值一定在数组的右边部分找，最大值和最小值的查找分别需要比较N/2 次和N/2 次；这样就可以找到最大值和最小值了，比较的次数为
N/2 * 3 = (3N)/2 次
如图会更加清晰：
代码实现：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define N 7
int main()
{int arr[N] = {4, 1, 5, 9, 9, 7, 10};int iter = 0;int cnt = 0;for(iter = 0; iter < N ; iter += 2){if(++cnt && arr[iter] > arr[iter + 1] ){int temp = arr[iter];arr[iter] = arr[iter + 1];arr[iter + 1] = temp;}}int myMin = arr[0];for(iter = 2; iter < N ; iter += 2){if(++cnt && arr[iter] < myMin){myMin = arr[iter];}}int myMax = arr[1];for(iter = 3; iter < N; iter += 2){if(++cnt && arr[iter] > myMax){myMax = arr[iter];}}if(N % 2 != 0 && ++cnt && myMax < arr[N - 1]) myMax = arr[N - 1];printf("min is %d\n", myMin);printf("max is %d\n", myMax);printf("compare times is %d", cnt);return 0;
}
上面的算法比较次数基本上已经是最优了，但是有朋友提出这样的顾虑，在极端的情况下，每次都做交换，可能会导致程序开销很大，这样的顾虑是对的，其实在上面的算法的基础上，可以不做交换就能找到最大值和最小值。
第3题 改进的算法：
依旧把数组两两一组分配，不做交换操作，设置一个最大值Max和最小值Min，依次和每一组的两个数据做比较，把较大的值给Max,较小的值给Min，遍历一次就能找到数组的最大值和最小值。
示例：数组为{(4, 1) , (5, 9) , (9 ,7) ,(10,2)},经过第一组比较得到Max = 4，Min = 1，其中比较了3次；,经过第二组比较得到Max = 9，Min = 1，其中比较了3次；……到最后Max = 10，Min = 1；比较次数是3 * N/2 = (3N)/2，比较次数没有改变！代码实现不难，就不贴了
4、已知三个升序整数数组a[l], b[m]和c[n]。请在三个数组中各找一个元素，是的组成的三元组距离最小。三元组的距离定义是：假设a[i]、b[j]和c[k]是一个三元组，那么距离为:
Distance = max(|a[ I ] – b[ j ]|, |a[ I ] – c[ k ]|, |b[ j ] – c[ k ]|)
请设计一个求最小三元组距离的最优算法，并分析时间复杂度。
解：这道题目有两个关键点：
第一个关键点： max{|x1-x2|,|y1-y2|} =（|x1+y1-x2-y2|+|x1-y1-(x2-y2)|）/2 --公式（1）
我们假设x1=a[ i ]，x2=b[ j ]，x3=c[ k ]，则
Distance = max(|x1 – x2|, |x1 – x3|, |x2 – x3|) = max( max(|x1 – x2|, |x1 – x3|) , |x2 – x3|) --公式（2）
根据公式（1），max(|x1 – x2|, |x1 – x3|) = 1/2 ( |2x1 – x2– x3| + |x2 – x3|)，带入公式（2），得到
Distance = max( 1/2 ( |2x1 – x2– x3| + |x2 – x3|) , |x2 – x3| )
=1/2 * max( |2x1 – x2– x3| , |x2 – x3| ) + 1/2*|x2 – x3| //把相同部分1/2*|x2 – x3|分离出来
=1/2 * max( |2x1 – (x2 + x3)| , |x2 – x3| ) + 1/2*|x2 – x3| //把(x2 + x3)看成一个整体，使用公式（1）
=1/2 * 1/2 *((|2x1 – 2x2| + |2x1 – 2x3|) + 1/2*|x2 – x3|
=1/2 *|x1 – x2| + 1/2 * |x1 – x3| + 1/2*|x2 – x3|
=1/2 *(|x1 – x2| + |x1 – x3| + |x2 – x3|) //求出来了等价公式，完毕！
第二个关键点：如何找到(|x1 – x2| + |x1 – x3| + |x2 – x3|) 的最小值，x1，x2，x3，分别是三个数组中的任意一个数，这一题，我只是做到了上面的推导，后面的算法设计是由csdn上的两个朋友想出来的方法，他们的CSDN的ID分别为 “云梦泽” 和 “ shuyechengying”.
算法思想是：
用三个指针分别指向a,b,c中最小的数，计算一次他们最大距离的Distance ，然后在移动三个数中较小的数组指针，再计算一次，每次移动一个，直到其中一个数组结束为止，最慢(l+ m + n)次，复杂度为O(l+ m + n)
代码如下：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define l 3
#define m 4
#define n 6
int Mymin(int a, int b, int c)
{int Min = a < b ? a : b;Min = Min < c ? Min : c;return Min;
}int Solvingviolence(int a[], int b[], int c[])
{//暴力解法，大家都会，不用过多介绍了！int i = 0, j = 0, k = 0;int MinSum = (abs(a[i] - b[j]) + abs(a[i] - c[k]) + abs(b[j] - c[k])) / 2;
// int store[3] = {0};int Sum = 0;for(i = 0; i < l; i++){for(j = 0; j < m; j++){for(k = 0; k < n; k++){Sum = (abs(a[i] - b[j]) + abs(a[i] - c[k]) + abs(b[j] - c[k])) / 2;if(MinSum > Sum){MinSum = Sum;
// store[0] = i;
// store[1] = j;
// store[2] = k;}}}}
// printf("the min is %d\n", minABC);
// printf("the three number is %-3d%-3d%-3d\n", a[store[0]], b[store[1]], c[store[2]]);return MinSum;}int MinDistance(int a[], int b[], int c[])
{int MinSum = 0; //最小的绝对值和int Sum = 0; //计算三个绝对值的和，与最小值做比较int MinOFabc = 0; // a[i] , b[j] ,c[k]的最小值int cnt = 0; //循环次数统计，最多是l + m + n次int i = 0, j = 0, k = 0; //a,b,c三个数组的下标索引MinSum = (abs(a[i] - b[j]) + abs(a[i] - c[k]) + abs(b[j] - c[k])) / 2;for(cnt = 0; cnt <= l + m + n; cnt++){Sum = (abs(a[i] - b[j]) + abs(a[i] - c[k]) + abs(b[j] - c[k])) / 2;MinSum = MinSum < Sum ? MinSum : Sum;MinOFabc = Mymin(a[i] ,b[j] ,c[k]);//找到a[i] ,b[j] ,c[k]的最小值//判断哪个是最小值，做相应的索引移动if(MinOFabc == a[i]){if(++i >= l) break;}//a[i]最小,移动iif(MinOFabc == b[j]){if(++j >= m) break;}//b[j]最小,移动jif(MinOFabc == c[k]){if(++k >= n) break;}//c[k]最小,移动k}return MinSum;
}
int main(void)
{int a[l] = {5, 6, 7};int b[m] = {13, 14, 15, 17};int c[n] = {19, 22, 24, 29, 32, 42};printf("\nBy violent solution ,the min is %d\n", Solvingviolence(a, b, c));printf("\nBy Optimal solution ,the min is %d\n", MinDistance(a, b, c));return 0;
}
5、这几天有点事，第5题还没仔细研究，要是解出来会第一时间更新博客！有求解方法的朋友欢迎评论！
题目部分摘取自july CSDN网站：http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/11921021
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