一、理论基础

广义回归神经网络（Generalized Regression Neural Network，简称GRNN）是一种具有较好的非线性逼近能力的四层前向传播神经网络，它属于径向基神经网络的一种变形形式，数据输入网络后依次经过输入层、模式层、求和层、输出层后得到输出结果，与反向传播神经网络（BPNN）不通的是该网络没有训练过程，主要通过对模式层的平滑因子进行优化来获得好的输出结果。
反向传播神经网络（BPNN）原理参考：
反向传播神经网络（BPNN）的实现（Python，附源码及数据集）

1、广义回归神经网络结构

广义回归神经网络的结构图如下图所示：
在这里插入图片描述

2、输入层

这一层主要实现数据的输入过程，并将输入数据传递至模式层，该层的节点数为输入数据的特征维度。

3、模式层

一般使用高斯函数对输入数据进行处理，节点数为训练样本的个数，具体的计算公式如下：
在这里插入图片描述

其中x_i为训练样本，x_j为学习样本，σ为平滑因子，

4、求和层

假设输出样本维度为k，则该层节点数为k+1，其中一个节点输出S_D为模式层输出的算术和，其余节点输出S_Ni均为模式层输出的加权和，具体的计算公式如下：
在这里插入图片描述

其中ω_ij为加权系数。

5、输出层

该层节点数为输出样本维度，主要根据求和层求出的算术和与加权和进行计算输出，计算公式如下：
在这里插入图片描述

6、优化思路

虽然GRNN无需进行网络训练，但模式层的平滑因子σ对网络的性能影响较大，平滑因子过大或过小会分别导致网络出现欠拟合与过拟合的现象，而在实验中通常难以将平滑因子设定至较优的数值，因此若想获得较好的网络性能，一般选用高效的智能优化算法对平滑因子进行寻优。
常见的智能优化算法介绍

二、广义回归神经网络的实现

以数据预测为例，下面介绍基于Python实现径向基神经网络的过程。
选用某省市的表层土壤重金属元素数据集作为实验数据，该数据集总共96组，随机选择其中的24组作为测试数据集，72组作为训练数据集。选取重金属Ti的含量作为待预测的输出特征，选取重金属Co、Cr、Mg、Pb作为模型的输入特征。

1、实现过程（GRNN.py）

#库的导入
import numpy as np
import pandas as pd#输入层
#读取训练数据
print('------------------------1. Load train data------------------------')
df = pd.read_csv("train.csv")
df.columns = ["Co", "Cr", "Mg", "Pb", "Ti"]
Co = df["Co"]
Co = np.array(Co)
Cr = df["Cr"]
Cr = np.array(Cr)
Mg=df["Mg"]
Mg=np.array(Mg)
Pb = df["Pb"]
Pb =np.array(Pb)
Ti = df["Ti"]
Ti = np.array(Ti)
inputX = np.mat([Co,Cr,Mg,Pb])
inputX = inputX.transpose()
inputY = np.mat(Ti)
inputY = inputY.transpose()#读取测试数据
print('------------------------2. Load test data-------------------------')
df = pd.read_csv("test.csv")
df = pd.read_csv("test.csv")
df.columns = ["Co", "Cr", "Mg", "Pb", "Ti"]
Co = df["Co"]
Co = np.array(Co)
Cr = df["Cr"]
Cr = np.array(Cr)
Mg=df["Mg"]
Mg=np.array(Mg)
Pb = df["Pb"]
Pb =np.array(Pb)
Ti = df["Ti"]
Ti = np.array(Ti)
testX = np.mat([Co,Cr,Mg,Pb])
testX = testX.transpose()
testY = Ti#模式层
#计算样本欧式距离
print('----------------3. Calculate euclidean distance-------------------')
m, n = np.shape(inputX)
p = np.shape(testX)[0]
distance = np.mat(np.zeros((p, m)))
for i in range(p):for j in range(m):distance[i,j] = np.linalg.norm(testX[i,:]-inputX[j,:])#计算高斯矩阵
print('------------------4. Calculate gaussian matrix--------------------')
sigma = 2 #平滑因子
Gauss = np.mat(np.zeros((p,m)))
for i in range(p):for j in range(m):Gauss[i,j] = np.exp(- distance[i,j] / (2 * (sigma ** 2)))#求和层
print('----------------------5. Output of sum Layer----------------------')
n = np.shape(inputY)[1]
sum_mat = np.mat(np.zeros((p,n+1)))
#计算算术和
for i in range(p):sum_mat[i, 0] = np.sum(Gauss[i, :], axis=1)
#计算加权和
for i in range(p):for j in range(n):total = 0.0for s in range(m):total += Gauss[i,s] * inputY[s,j]sum_mat[i,j+1] = total#输出层
print('--------------------6. Output of output Layer---------------------')
#计算预测值
predict = np.mat(np.zeros((p,n)))
for i in range(n):predict[:,i] = sum_mat[:,i+1] / sum_mat[:,0]
predict = predict.transpose()
predict = np.array(predict)
output1=predict.flatten()#降成一维数组
predict=output1.tolist()#预测效果评估
print('----------------7. Forecasting effect evaluation------------------')
#预测差值err
err = predict - testY
#MAE等评价指标的计算
mae = np.sum(np.abs(predict-testY))/p
average_loss1=np.sum(np.abs((predict-testY)/testY))/p
mape="%.2f%%"%(average_loss1*100)
f1 = 0
for m in range(p):f1 = f1 + np.abs(testY[m]-predict[m])/((np.abs(testY[m])+np.abs(predict[m]))/2)
f2 = f1 / p
smape="%.2f%%"%(f2*100)#计算预测值与真实值误差与真实值之比的分布
A=0
B=0
C=0
D=0
E=0
for m in range(p):y1 = np.abs(testY[m]-predict[m])/np.abs(testY[m])if y1 <= 0.1:A = A + 1elif y1 > 0.1 and y1 <= 0.2:B = B + 1elif y1 > 0.2 and y1 <= 0.3:C = C + 1elif y1 > 0.3 and y1 <= 0.4:D = D + 1else:E = E + 1
print("The distribution of the predicted difference ratio in different intervals is as follows:")
print("Ratio <= 0.1 :",A)
print("0.1< Ratio <= 0.2 :",B)
print("0.2< Ratio <= 0.3 :",C)
print("0.3< Ratio <= 0.4 :",D)
print("Ratio > 0.4 :",E)
print("The different error index values are as follows：")
print("the MAE is :",mae)
print("the MAPE is :",mape)
print("the SMAPE is :",smape)#保存误差和真实值
np.save("GRNN-err.npy",err)
np.save("GRNN-output.npy",predict)print("The prediction value and real value comparison figure has been generated ！")